Добавил:

SergeyKorabel 19-КСУ Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Технический Университет им. Р.Е. Алексеева

Предмет:

Информатика

Файл:

Информатика 2 семестр / Laboratornaya_rabota_3_-_chast_2_vypolnenie

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.09.2022

Размер:

789.38 Кб

Скачать

☆

Кусочно-линейная интерполяция (Метод неопределённых коэффициентов)

Постановка задачи: Дана таблично заданная функция {xi,yi}

i	0	1	2	3	4
x	0,2	0,4	0,7	0,85	1
y	0,1	0,5	0,6	0,9	0,7

-Выполнить кусочно – линейную интерполяцию ручной счет

-Реализовать в программе MCAD

- Реализовать в программе MSExcel

Система для нахождения							Ответ
коэффициентов полинома на
каждом участке
1 участок		2участок
a10 a11 x0	y0	a20	a21 x1	y1		a1	a1	x,приx	x x
						0	1	0	1
	y1		a21 x2	y2	a2		a2	x,приx	x x
a10 a11 x1	y1	a20	a21 x2	y2	a2		a2	x,приx	x x
						0	1	1	2
					P1( x ) a3		a3	x,приx	x x
3 участок		4участок				0	1	2	3
3 участок		4участок					a41 x,приx3 x x4
a30 a31 x2 y2		a40 a41 x3 y3			a40		a41 x,приx3 x x4
	y3		a41 x4	y4
a30 a31 x3	y3	a40	a41 x4	y4

На интервале от 0,2 до 1 задано 5 точек, получаем 4 отрезка. Интерполируем (метод Неопределенных коэффициентов) полиномом 1 степени каждый отрезок. После нахождения каждого полинома запишем результат.

1 участок.

i	0	1	Общий вид полинома P11( x ) a10 a11 x . По условию интерполяции
x	0,2	0,4
x	0,2	0,4	полином должен проходить через точки, которые выбраны для построения,
y	0,1	0,5
y	0,1	0,5	P11( x0 ) y0				a10		a11 x0		y0
			P11( x0 ) y0				a10		a11 x0		y0
			т.е. P11( x			) y	Следовательно a1		a1 x		y		. Подставим
					1	1		0	1 1		1
значения x			,x , y	0	, y . В результате получаем a10			a11 0,2 0,1 .Неизвестными в
		0	1	0	1			a11 0,4		0,5
							a10	a11 0,4		0,5
									1	0,2		0,1
системе являются a10 ,a11 .Решим систему методом Гаусса.													. Приведем
									1	0,4		0,5

систему к треугольному виду, для этого 1 строку перепишем, из 2 строки вычтем 1 строку

1
		0,2	0,1
и результат запишем на место 2 строки.	0	0,2	0,4	. Запишем полученную матрицу в

			1			1	2 . Из 1
виде системы.	a10 a11 0,2 0,1. Из 2 уравнения найдем a1				0,4	a1	2 . Из 1
		a11 0,2 0,4			0,2
					0,2
уравнения найдем a10 . a10 0,1 0,2 a11			a10 0,1 0,2 2	a10 0,3. Запишем

найденное уравнение P11( x ) 0,3 2 x . Проверка. Найденное уравнение должно

проходить через точки x0 , y0 , x1, y1 .

P11( x0 ) 0,3 2 x0

P11( 0,2 ) 0,3 2 0,2 P11( 0,2 ) 0,1

P11( x1 ) 0,3 2 x1

P11( 0,4 ) 0,3 2 0,4

P11( 0,4 ) 0,5 Следовательно прямая проходит через 0 и 1 точки.

2 участок.
i	1	2	Общий вид полинома P12( x ) a20 a21 x . По условию интерполяции
x	0,4	0,7
x	0,4	0,7	полином должен проходить через точки, которые выбраны для построения,
y	0,5	0,6
y	0,5	0,6	P12( x ) y			a2		0	a2 x		y
			P12( x ) y			a2			a2 x		y
			т.е.	1	1	Следовательно			1 1			1 . Подставим
			P12( x2 ) y2			a20			a21 x2		y2
						a20 a21 0,4 0,5							.Неизвестными в
значения x1,x2 , y1, y2 . В результате получаем							a21 0,7			0,6			.Неизвестными в
						a20	a21 0,7			0,6
									1	0,4		0,5
									1	0,4		0,5
системе являются a20 ,a21 .Решим систему методом Гаусса.													. Приведем
									1	0,7		0,6

систему к треугольному виду, для этого 1 строку перепишем, из 2 строки вычтем 1 строку,

1
		0,4	0,5
и результат запишем на место 2 строки.	0	0,3	0,1	. Запишем полученную матрицу в

a20 a21 0,4 0,5			. Из 2 уравнения найдем a21	0,1	a21	0,333.
виде системы.	a21 0,3	0,1
				0,3

Из 1 уравнения найдем a20 .		a20 0,5 0,4 a21 a20 0,5 0,4 0,333

a20 0,3668. Запишем найденное уравнение P12( x ) 0,3668 0,333 x . Проверка. Найденное уравнение должно проходить через точки x1, y1 , x2 , y2 .

P12( x1 ) 0,3668 0,333 x1 P12( 0,4 ) 0,3668 0,333 0,4

P12( 0,4 ) 0,5

P12( x2 ) 0,3668 0,333 x2 P12( 0,7 ) 0,3668 0,333 0,7

P12( 0,7 ) 0,6 Следовательно прямая проходит через 1-ю и 2-ю точки.

3 участок.

Общий вид полинома P13( x ) a30

a31 x . По условию интерполяции

0,7

0,85

полином должен проходить через точки, которые выбраны для построения,

0,6

0,9

P13( x2 ) y2

a30

a31 x2

т.е. P13( x

) y

Следовательно

a3 x

. Подставим

1 3


	a30 a31 0,7 0,6				.Неизвестными в
значения x2 ,x3 , y2 , y3 . В результате получаем		a31 0,85 0,9
	a30
		1
системе являются a30 ,a31			0,7	0,6
	.Решим систему методом Гаусса.		0,85	0,9		. Приведем
		1

систему к треугольному виду, для этого 1 строку перепишем, из 2 строки вычтем 1 строку,

		1
			0,7	0,6
и результат запишем на место 2 строки.			0,15	0,3	. Запишем полученную матрицу в
		0
a30 a31 0,7 0,6			уравнения найдем a31				0,3	a31 2 . Из 1
виде системы.	a31 0,15 0,3	. Из 2					0,15

уравнения найдем a30 . a30 0,6 0,7 a31 a30 0,6 0,7 2						a30 0,8 . Запишем

найденное уравнение P13( x ) 0,8 2 x . Проверка. Найденное уравнение должно

проходить через точки x2 , y2 , x3 , y3 .

P13( x2 ) 0,8 2 x2

P13( 0,7 ) 0,8 2 0,7

P13( 0,7 ) 0,6

P13( x3 ) 0,8 2 x3

P13( 0,85) 0,8 2 0,85

P13( 0,85) 0,9 .Следовательно, прямая проходит через 2-ю и 3-ю точки.

4 участок.
i	3			4	Общий вид полинома P14( x ) a40 a41 x . По условию
x	0,85			1	Общий вид полинома P14( x ) a40 a41 x . По условию
x	0,85			1	интерполяции полином должен проходить через точки, которые выбраны
y	0,9			0,7
y	0,9			0,7						P14( x		) y
										P14( x		) y
					для построения, т.е.						3	3 Следовательно
										P14( x4 ) y4
a4		0	a4 x		3	y	3 . Подставим значения x3 ,x4 , y3 , y4 . В результате получаем
		0	1		3
a40			a41 x4			y4
a40			a41 0,85 0,9					.Неизвестными в системе являются a40 ,a41 .Решим систему
	a40 a41					1 0,7		.Неизвестными в системе являются a40 ,a41 .Решим систему
	a40 a41					1 0,7
						1
						1	0,85		0,9
методом Гаусса.									0,7	. Приведем систему к треугольному виду, для этого 1
						1	1		0,7

строку перепишем, из 2 строки вычтем 1 строку, и результат запишем на место 2 строки.

1
		0,85	0,9
	0	0,15	0,2	. Запишем полученную матрицу в виде системы.

a40 a41 0,85 0,9		. Из 2 уравнения найдем a41	0,2	a41	1,333. Из 1
	a41 0,15 0,2		0,15

уравнения найдем a40 . a40 0,9 0,85 a41 a40 0,9 0,85 ( 1,333)

a40 2,033. Запишем найденное уравнение P14( x ) 2,033 1,333 x . Проверка. Найденное уравнение должно проходить через точки x3 , y3 , x4 , y4 .

P14( x3 ) 2,033 1,333 x3

P14( 0,85) 2,033 1,333 0,85

P14( 0,85) 0,9

P14( x4 ) 2,033 1,333 x4

P14(1) 2,033 1,333 1

P14(1) 0,7 .Следовательно, прямая проходит через 3-ю и 4-ю точки.

		0,3 2 x,если0,2 x 0,4

	Запишем ответ P1( x ) 0,3668 0,333 x,если0,4 x 0,7
		0,8 2 x,если0,7 x 0,85
		2,033 1,333 x,если0,85 x 1
		2,033 1,333 x,если0,85 x 1

Построим график

Реализация метода в Mcad

Метод неопределѐнных коэффициентов(кусочно-линейная интерполяция)

	0.	2					0.1
	0.	4					0.5
	0.	4					0.5
x	0.	7		y			0.6
	0.85						0.9

	1						0.7
1 участок
	1	x			y	0
C1			0	D1		0

	1	x			y
	1	x			y
			1			1

a1 C1 1 D1

0.3

P11(x) a10 a11 x

2 участок

	1		x		y	1
C2			1	D2

		1	x		y

			2			2

a2 C2 1 D2

0.3670.333

P12(x) a20 a21 x

Исходные данные

i 0 4

Матрицы C1 и D1 для системы линейных уравнений

Решение системы линейных уравнений нахождение коэффициентов а10 и а11

Интерполирующая функция 1 участка

Матрицы C2 и D2 для системы линейных уравнений

Решение системы линейных уравнений нахождение коэффициентов а20 и а21

Интерполирующая функция 2 участка

3 участок
	1	x2			y2			Матрицы C3 и D3 для системы линейных
	1	x2			y2			уравнений
C3				D3
C3	1 x3			D3	y3
	1 x3				y3
a3 C3 1 D3								Решение системы линейных уравнений
								нахождение коэффициентов а30 и а31
	0.8
a3
		2
P13(x) a30 a31 x								Интерполирующая функция 3 участка
P13(x) a30 a31 x
4 участок
		1 x3				y3		Матрицы C4 и D4 для системы линейных
		1 x3				y3		уравнений
C4				D4
C4		1 x4		D4		y4
		1 x4				y4
a4 C4 1 D4								Решение системы линейных уравнений
								нахождение коэффициентов а40 и а41
		2.033
	a4
		1.333
	P14(x) a40 a41 x							Интерполирующая функция 4 участка
	P14(x) a40 a41 x
	P1(t) if t x1 P11(t) if t x2 P12(t) if t x3 P13(t) P14(t)								Ответ
	P1(t) if t x1 P11(t) if t x2 P12(t) if t x3 P13(t) P14(t)
				1
		P1 xi
			0.5
		y i
				0 0			0.5	1
							xi
Кусочно-параболическая интерполяция (Метод
неопределённых коэффициентов)
Постановка задачи: Дана таблично заданная
функция {xi,yi}

i	0	1	2	3	4
x	0,2	0,4	0,7	0,85	1
y	0,1	0,5	0,6	0,9	0,7

-Выполнить кусочно – параболическую интерполяцию ручной счет

-Реализовать в программе MCAD

- Реализовать в программе MSExcel

Система для нахождения

Ответ

коэффициентов полинома

на каждом участке

1 участок

a10 a11 x0

a12

x 2

a11 x1

a10

a12 x1

a11 x2

a12

x 2

a10

, при

P2( x)

a21

x a22

, при x2

x x4

a20

2 участок

a2 x

a21 x3

a20

a22 x3

a2 x

На интервале от 0,2 до 1 задано 5 точек, разобьѐм его на 2 отрезка x0 x x2 и

x2 x x4 . Интерполируем (метод Неопределенных коэффициентов) полиномом 1

степени каждый отрезок. После нахождения каждого полинома запишем результат. 1 участок.

i	0	1	2	Общий вид полинома P21( x ) a1	a1			x a		2	x2 . По условию
				Общий вид полинома P21( x ) a1	a1			x a			x2 . По условию
x	0,2	0,4	0,7	0			1
x	0,2	0,4	0,7	интерполяции полином должен проходить через точки, которые
y	0,1	0,5	0,6	интерполяции полином должен проходить через точки, которые
y	0,1	0,5	0,6	P21( x0 ) y0
				P21( x0 ) y0

				выбраны для построения, т.е. P21( x1 ) y1 Следовательно
				P21( x		2	) y		2
						2			2

a1 a1 x a1 x							0	2 y	0
	0	1	0		2		0		0
				a12 x12 y1						. Подставим значения x0 ,x1,x2			, y0 , y1, y2 . В
a10		a11 x1		a12 x12 y1						. Подставим значения x0 ,x1,x2			, y0 , y1, y2 . В
a1 a1 x			2	a1 x			2	2 y	2
	0	1	2		2		2		2
					a1 a1 0,2 a1 0,22						0,1
						0		1		2
								a11 0,4 a12 0,42			0,5 .Неизвестными в системе
результате получаем a10								a11 0,4 a12 0,42			0,5 .Неизвестными в системе
					a1 a1 0,7 a1 0,72						0,6
						0		1		2
											1	0,2	0,22		0,1
											1	0,2	0,22
													0,42
являются a1 ,a1 ,a1						.Решим систему методом Гаусса. 1						0,4	0,42		0,5	. Приведем
		0		1	2									2	0,6
														2	0,6
											1	0,7	0,7

систему к треугольному виду, для этого 1-ю строку перепишем, из 2-ой строки вычтем 1- ю строку, из 3-ей строки вычтем 1-ю строку и результат запишем на место 3-ей строки.

1		0,2	0,04	0,1

	0	0,2	0,12	0,4
	0	0,5	0,45	0,5

. Перепишем 1-ю строку, а 2-ю строку поделим на 0,2, а 3-ю строку

на 0,5.

	1		0,2 0,04		0,1
	1		0,2 0,04		0,1
Система примет вид		0	1	0,6	2	. Преобразуем систему перепишем 1-ю и 2-ю
		0	1	0,9	1
		0	1	0,9	1

строки, а из 3-ей строки вычтем 2-ю строку, результат запишем на место 3-ей строки.

	1		0,2 0,04		0,1
	1		0,2 0,04		0,1
Получим следующую систему		0	1	0,6	2	. Запишем полученную матрицу в
		0	0	0,3
		0	0	0,3	1

a10	a11	0,2 a12 0,04 0,1			1
			a12 0,6 2	. Из 3 уравнения найдем a12
виде системы.	a11
					0,3
	a1		0,3 1

	2

a12 3,333. Из 2-го уравнения найдем	a11. a11 2 0,6 a12 a21 2 0,6 3,333
a11 4 . Из 1-го уравнения получим a10	a10 0,1 0,2 a11 0,04 a12
a10 0,1 0,2 4 0,04 ( 3,333) a10	0,567 .Запишем найденное уравнение

P21( x ) 0,567 4 x 3,333 x2 .
Проверка. Найденное уравнение должно проходить через точки
x0 , y0 , x1, y1 , x2 , y2 .
P21( x	0	) 0,567 4 x	0	3,333 x	2	P21( 0,2 ) 0,567 4 0,2 3,333 0,22
	0		0		0
P21( 0,2 ) 0,1
P21( x		) 0,567 4 x		3,333 x	2	P21( 0,4 ) 0,567 4 0,4 3,333 0,42
1		1		1
P21( 0,4 ) 0,5

P21( x2 ) 0,567 4 x2 3,333 x22 P21( 0,7 ) 0,567 4 0,7 3,333 0,72

P21( 0,7 ) 0,6

Следовательно, полученный полином проходит через 0- ю, 1-ю и 2-ю точки.

2 участок.
i	2	3	4	Общий вид полинома P22( x ) a2	0	a2	x a2		2	x 2 . По
				Общий вид полинома P22( x ) a2		a2	x a2			x 2 . По
x	0,7	0,85	1			1
x	0,7	0,85	1	условию интерполяции полином должен проходить через точки,
y	0,6	0,9	0,7	условию интерполяции полином должен проходить через точки,
y	0,6	0,9	0,7			P22(x2 ) y2
						P22(x2 ) y2
				которые выбраны для построения, т.е.		P22(x ) y		3	Следовательно
				которые выбраны для построения, т.е.			3	3	Следовательно

						P22(x4 ) y4

a2	0	a2 x		2	a2	2	x		2	2 y	2
	0	1		2		2			2		2
							x32 y3 . Подставим значения x2 ,x3 ,x4 , y2 , y3 , y4 . В
a20		a21	x3		a22		x32 y3 . Подставим значения x2 ,x3 ,x4 , y2 , y3 , y4 . В
a2	0	a2 x		4	a2	2	x		4	2 y	4
	0	1		4		2			4		4
					a2			0		a2 0,7 a2		2	0,72 0,6
								0		1		2
									a21 0,85 a22				0,852 0,9 .Неизвестными в системе
результате получаем a20									a21 0,85 a22				0,852 0,9 .Неизвестными в системе
												2	0,7
					a20 a21 1 a22 1								0,7

			0,7	2	0,6
	1 0,7		0,7		0,6
являются a20 ,a21,a22	.Решим систему методом Гаусса. 1	0,85	0,852		0,9	.
			2		0,7
					0,7
	1	1	1
	1	1	1

Приведем систему к треугольному виду, для этого 1-ю строку перепишем, из 2-ой строки вычтем 1-ю строку, из 3-ей строки вычтем 1-ю строку и результат запишем на место 3-ей

	1		0,7	0,49	0,6
	1		0,7	0,49	0,6
строки.		0	0,15	0,2325	0,3	. Перепишем 1-ю строку, а 2-ю строку поделим на 0,15, а
		0	0,3	0,51	0,1
		0	0,3	0,51	0,1
							1 0,7			0,49	0,6
							1 0,7			0,49	0,6
3-ю строку на 0,3.Система примет вид								0	1	1,55	2	. Преобразуем систему
								0	1	1,7
								0	1	1,7	0,333

перепишем 1-ю и 2-ю строки, а из 3-ей строки вычтем 2-ю строку, результат запишем на

						1 0,7 0,49								0,6
						1 0,7 0,49								0,6
место 3-ей строки. Получим следующую систему							0	1		1,55			2		. Запишем
							0	0		0,15
							0	0		0,15				1,667
				a2	0	a2 0,7 a2					2	0,49 0,6
					0	1	a2				2
полученную матрицу в виде системы.						a2	a2		2	1,55 2					. Из 3
						1			2
						a22	0,15 1,667
						a22	0,15 1,667
уравнения найдем a2	2	1,667
	2		0,15
			0,15
a22 11,111.
Из 2-го уравнения найдем a21 .
a21 2 1,55 a22	a21 2 1,55 11,111 a21 19,222.
Из 1-го уравнения получим a20
a20 0,6 0,7 a21 0,49 a22				a21 0,6 0,7 19,222 0,49 ( 11,111)
a20 7,411.
Запишем найденное уравнение P22(x) 7,411 19,222 x 11,111 x2 .
Проверка. Найденное уравнение должно проходить через точки
x2 , y2 , x3 , y3 , x4 , y4			.
P22(x ) 7,411 19,222 x 11,111 x 2
2			2	2

P22(0,7) 7,411 19,222 0,7 11,111 0,72 P22(0,7) 0,6

P22(x3 ) 7,411 19,222 x3 11,111 x32

P22(0,85) 7,411 19,222 0,85 11,111 0,852 P22(0,85) 0,9

P22(x4 ) 7,411 19,222 x4 11,111 x42

P22(1) 7,411 19,222 1 11,111 12

P22(1) 0,7 Следовательно, полученный полином проходит через 2- ю, 3-ю и 4-ю точки.

0,567 4 x 3,333 x2 ,если 0,2 x 0,7

Запишем ответ P2( x)

7,411 19,222 x 11,111 x2 ,если 0,7 x 1

Реализация метода в Mcad

Метод неопределѐнных коэффициентов(кусочно-параболическая интерполяция)

	0.2		0.1	Исходные данные
	0.2		0.1
	0.4		0.5
	0.4		0.5
x	0.7	y 0.6		i 0 4
	0.85		0.9

	1	1 участок	0.7
		1 участок

	x0	x0	2
1	x0	x0
		x
C1 1	x	x	2
	1	1
		x2
	x2		2
1	x2

a1 C1 1D1

			0.5667
	a1		4


			3.3333

y		Матрицы C1 и D1 для системы линейных
y	0	уравнений
	0	уравнений
D1 y	1
	1

y2

Решение системы линейных уравнений нахождение коэффициентов а10 , а11 и а12

P21(x) a10 a11x a12x2

Интерполирующая функция 1 участок

2 участок

	x2	x2	2
1
		x
C2 1	x		2
	3	3
		x4
	x4		2
1
a2	C2 1D2

7.4111 a2 19.222211.1111

y		Матрицы C2 и D2 для системы линейных
y	2	уравнений
	2	уравнений
D2 y	3
	3

y4

Решение системы линейных уравнений нахождение коэффициентов а20 , а21 и а22

P22(x) a20 a21x a22x2		Интерполирующая функция 2 участок
P2(t) if t x	P21(t) P22(t)	Ответ
2

xp 0 0.05 1	точки для построения полинома

1
P2 ( xp )
0
y i
1 0	0.5	1
	xp xi

Соседние файлы в папке Информатика 2 семестр

#
16.09.2022253.25 Кб1laaab1.docx
#
16.09.202241.53 Кб1LAB1.docx
#
16.09.2022728.81 Кб4Laboratornaya_rabota_3_-_chast_1_vypolnenie.pdf
#
16.09.2022789.38 Кб3Laboratornaya_rabota_3_-_chast_2_vypolnenie.pdf
#
16.09.2022963.57 Кб1Laboratornaya_rabota_4_vypolnenie.pdf
#
16.09.2022911.63 Кб2Laboratornaya_rabota_5_-_vypolnenie_2_semestr.pdf
#
16.09.20221.07 Mб3lab_rabota_3-chast_3_vypolnenie.pdf
#
16.09.20222.94 Mб2obrazets_vypolnenia_laboratornykh_rabot_2_semestr.pdf
#
16.09.202212.64 Кб4Лаб 4.xlsx