Задача N10.2
Расчет погрешности измерения в цепи переменного тока
1. Цель задачи.
Целью данной задачи является научиться рассчитывать методическую и инструментальную погрешности измерения напряжения в цепи переменного тока. Студенты должны оценить влияние входного сопротивления и входной емкости вольтметра на методическую погрешность.
2. Состав условия задачи
Имеется делитель напряжения, состоящий из последовательно включенных резисторов R1 и R2, как это показано на рисунке 1
Рисунок 1. Электрическая схема делителя напряжения
На делитель напряжения подано переменное напряжение с действующим значением U и частотой f. К резистору R2 подключен аналоговый многопредельный вольтметр с внутренним сопротивлением RV на пределе измерения Uпр, как показано на рисунке 2.
Рисунок 2. Электрическая схема делителя напряжения с подключенным вольтметром
В условии задачи приводятся также значения входной емкости вольтметра и соединительных проводов С, а также класса точности вольтметра Кт.
Студенту предлагается определить среднеквадратическую относительную погрешность измерения напряжения на резисторе R2, обусловленную классом точности вольтметра и методической погрешностью.
3. Порядок решения задачи
Решение задачи будет состоять из следующих этапов:
1) расчет значения напряжения на резисторе R2 для случая, когда к делителю напряжения не подключен вольтметр;
2) составление эквивалентной схемы делителя напряжения с подключенным вольтметром;
3) расчет эквивалентного сопротивления нижней части делителя напряжения с подключенным вольтметром;
4) расчет значения напряжения на резисторе R2 для случая, когда к делителю напряжения подключен вольтметр;
5) расчет методической погрешности измерения напряжения на резисторе R2 для случая, когда к делителю напряжения подключен вольтметр;
6) расчет погрешности измерения напряжения на резисторе R2, обусловленной классом точности вольтметра;
7) расчет среднеквадратической относительной погрешности измерения напряжения на резисторе R2, обусловленной классом точности вольтметра и методической погрешностью.
Рассмотрим указанные этапы более подробно.
3.1. Расчет значения напряжения на резисторе r2 для случая, когда к делителю напряжения не подключен вольтметр
3.1.1. Определим ток, протекающий по резисторам R1 и R2, когда к схеме не подключен вольтметр.
, (1)
где IR1nV - ток, протекающий по резисторам R1 и R2, когда к схеме не подключен вольтметр;
U – напряжение, поданное на делитель напряжения.
3.1.2. Определим падение напряжения на резисторе R2, когда к схеме делителя напряжения не подключен вольтметр.
UR2nV= IR1nV ·R2, (2)
где UR2nV - падение напряжения на резисторе R2, когда к схеме не подключен вольтметр.
Решая совместно уравнения (1) и (2), получим
. (3)
3.2. Составление эквивалентной схемы делителя напряжения с подключенным вольтметром;
Согласно условию задачи к резистору R2 подключен вольтметр. Электрическая схема делителя напряжения с подключенным вольтметром показана на рисунке 2.
Идеальный вольтметр (вольтметр с бесконечно большим входным сопротивлением и бесконечно малой входной ёмкостью) показал бы значение напряжения, равное UR2nV. Однако в данной задаче вольтметр имеет входное сопротивление RV и входную емкость С. В этом случае параллельно резистору R2 подключаются активное и реактивное сопротивления вольтметра, как показано на рисунке 3.
Рисунок 3. Эквивалентная схема делителя напряжения с подключенным вольтметром
Анализ схемы, представленной на рисунке 3, говорит о том, что в схеме присутствуют активные сопротивления (резисторы R1, R2 и входное сопротивление вольтметра RV) и реактивное сопротивление (входная емкость вольтметра и емкость подводящих проводов С). Это обстоятельство необходимо учитывать в дальнейших расчетах.
3.3. Расчет эквивалентного сопротивления нижней части делителя напряжения с подключенным вольтметром
Для расчета полного сопротивления нижней части делителя напряжения с учетом того, что в сопротивлении вольтметра присутствует реактивная составляющая используем следующую методику.
3.3.1. Определим эквивалентное активное сопротивление параллельно включенных резистора R2 и входного активного сопротивления вольтметра RV
Rэ = R2·RV/(R2+RV).
3.3.2. Определим круговую частоту источника переменного напряжения
ω=2·π·f.
3.3.3. Определим эквивалентное полное комплексное сопротивление нижней части делителя напряжения с подключенным вольтметром.
.
где ZC=1/(jωC) - комплексное сопротивление конденсатора С на частоте f.
Чтобы выделить действительную и мнимую части полученного выражения, умножим числитель и знаменатель на число, сопряженное со знаменателем
. (4)
Чтобы упростить выражение (4), введем вспомогательные коэффициенты:
,
.
В результате эквивалентное полное комплексное сопротивление нижней части делителя напряжения с подключенным вольтметром будет иметь вид
Zнч=F-jG.
3.4. Расчет значения напряжения на резисторе r2 для случая, когда к делителю напряжения подключен вольтметр
3.4.1. Определим эквивалентное полное комплексное сопротивление делителя напряжения с подключенным вольтметром.
Zдн=R1+Zнч=(R1+F)-jG.
Обозначим действительную часть полученного выражения через коэффициент А, т.е.
A=R1+F.
В результате эквивалентное полное комплексное сопротивление делителя напряжения с подключенным вольтметром будет иметь вид
Zдн=А-jG.
3.4.2. Определим комплексное значение тока, протекающего по делителю напряжения с подключенным к нему вольтметром
. (6)
Чтобы упростить выражение (7), введем вспомогательные коэффициенты:
,
.
В результате комплексное значение тока, протекающего по делителю напряжения с подключенным к нему вольтметром, будет иметь вид
Iдн=М+jN.
3.4.3 Определим падение напряжения на резисторе R2, когда к схеме делителя напряжения подключен вольтметр.
UR2V= Iдн·Zнч=(M+jN)·(F-jG)=(FM+GN)+j(NF-GM).
3.4.4. Определим модуль напряжения на резисторе R2, когда к схеме делителя напряжения подключен вольтметр.
.