3. Угловой спектр плоских волн

Теория скалярной дифракции Кирхгофа в основном применятся в физической оптике для решения дифракционных задач.

для решения дифракционных задач при анализе систем оптической обработки информации более широкое распространение в силу своей наглядности получил метод углового (пространственного) спектра. Данный метод основан на применении математического аппарата двумерного пространственного преобразования Фурье, который позволяет выполнять анализ изменений углового спектра оптического излучения при распространении в пространстве и на основании этого построить картину дифракционного излучения в плоскости, удалённой на произвольное расстояние от исходной.

Для рассмотрения применения методики углового спектра для определения поля дифракции осуществим постановку задачи в следующем виде. Пусть волна, созданная некоторой системой монохроматических источников, распространяется вдоль оси z и достигает плоскости (x, y, z=0) (рисунок). Комплексная амплитуда поля в этой плоскости описывается некоторой функцией распределения Ú(x,y,0).

Необходимо рассчитать поле Ú(x,y,z) в плоскости, отстоящей от исходной на произвольном расстоянии z.

Как известно, уравнение плоской монохроматической волны единичной амплитуды, распространяющейся в пространстве по направлению волнового вектора k, можно записать в виде

(1.19)

где α, β, γ – направляющие косинусы волнового вектора, при этом

.

Из выражений (1.19) и (1.7) следует, что в плоскости z=0 функцию

можно рассматривать как плоскую волну с направляющими косинусами

При этом выражение (1.7) можно трактовать как суперпозицию плоских волн с комплексными амплитудами, равными , где f_x=α/λ, f_y=β/λ. Т.о. любое световое распределение в произвольной плоскости может быть представлено в виде набора плоских волн, каждая из которых распространяется по своему направлению со своей амплитудой и фазой.

При известном распределении поля Ú(x,y,0) в плоскости z=0 процедуру отыскания распределения поля Ú(x,y,z) в некоторой плоскости z можно представить формально следующим образом

Искомая функция Ú(x,y,z) получается на третьем тапе в результате обратного преобразования Фурье

(1.20)

Связь между спектрами поля в плоскости z=0 и z=const, используемая на втором этапе, может быть найдена при подстановке в однородное уравнение гельмгольца функции поля в форме (1.20). Решение получающегося дифференциального уравнения и даёт искомую связь:

(1.21)

Подставляя (1.21) в (1.20), получаем окончательное решение поставленной задачи:

(1.22)

Если в (1.22) α² + β²<1, то все плоские волны углового спектра распространяются без затухания. Волны, для которых выполняется условие α² + β² >1, затухают при распространении. Если α² + β² =1, то такие волны распространяются перпендикулярно к оси z и не переносят энергию в направлении этой оси.

Первый экспоненциальный множитель в (1.22) играет роль комплексной передаточной функции Ĥ слоя пространства толщиной z:

(1.23)

Если z >λ в несколько раз, то затухающими волнами можно пренебречь и для передаточной функции справедливо приближённое соотношение:

(1.24)

Т.о. влияние слоя свободного пространства толщиной z на распространение оптической волны эквивалентно действию линейного дисперсионного пространственного фильтра с конечной полосой пропускания пространственных частот. Внутри круговой области с радиусом модуль передаточной функции равен единице, но существуют фазовые сдвиги, зависящие от пространственных частот.

Дифракция Френеля и Фраунгофера

Формулы дифракции Френеля и Фраунгофера являются дальнейшим упрощением выводов скалярной теории дифракции (СКД).

Для получения этих формул сделаем общую постановку задачи и предварительные замечания.

Пусть в т.Р₀ в плоскости (x₀,y₀,z,) наблюдается дифракционное поле от первичного поля в отверстии Σ непрозрачного экрана в плоскости (x₁,y₁,0). Оси обеих систем координат параллельны друг другу. Максимальные линейные размеры отверстия Σ и области наблюдения дифракционного поля много меньше расстояния z между соответствующими плоскостями.

Введём в интеграле суперпозиции (1.18) бесконечные пределы, что не повлияет на его значение:

(1.25)

На основании сделанных приближённых предположений можно записать:

,

Что приводит к упрощению выражения для функции импульсного отклика слоя пространства толщиной z

(1.26)

Приближение Френеля (поле в ближней зоне)

В этом случае используется приближённое выражение для расстояния r₀₁:

(1.27)

При этом функция импульсного отклика (1.26) приобретает вид:

(1.28)

Подставляя (1.28) в (1.25) окончательно получаем приближённую формулу дифракции Френеля в двух видах:

(1.29)

(1.30)

Выражение (1.29) имеет вид свёртки функций Ú(x₁,y₁) и h(x₀,x₁;y₀,y₁) или вид преобразования Френеля от функции Ú(x₁,y₁) – с точностью до множителя перед интегралом.

Выражение (1.30) с точностью до множителя перед интегралом можно рассматривать как преобразование Фурье от функции в фигурных скобках {} с пространственными частотами f_x= x₀/λz и f_y= y₀/λz.

Для того чтобы ошибка в показателе экспоненты выражения (1.26) за счёт приближения (1.27) была много меньше 1 радиана, необходимо выполнение условия

. (1.31)

Неравенство (1.31) определяет область (ближнюю зону излучения), в которой выполняется приближение Френеля.

Приближение Фраунгофера (поле в дальней зоне)

Если в выражении (1.30) потребовать выполнение более жёсткого условия

(1.32)

То выражение (1.30) упроститься и с точностью до множителя перед интегралом примет вид преобразования Фурье от распределения поля в отверстии Σ в плоскости (x₁,y₁):

(1.33)

Область (1.32) называется областью Фраунгофера или дальней зоной излучения.

При максимальном размере отверстия (Σ) 2 мм и λ= 0,63 мкм (гелий-неоновый лазер) нижняя граница зоны Фраунгофера должна удовлетворять условию z >>20 м.

Преобразование оптических полей тонкими линзами

Передаточная функция тонкой сферической линзы

Пусть слева на переднюю поверхность тонкой сферической непоглощающей линзы в сечении l падает световой поток с поперечным распределением поля Ú_l(x,y).

Т.к. тонкая линза является линейной оптической системой, то на выходе её в сечении l’ поле можно представить в следующем виде:

где

- (1.34)

передаточная функция тонкой сферической непоглощающей линзы, Δ₀ – толщина линзы, n – показатель преломления линзы, F – фокусное расстояние линзы.

Из (1.34) следует, что непоглощающая линза вносит только дополнительный фазовый сдвиг в комплексную амплитуду поля на выходе. Обычно общий постоянный фазовый сдвиг за счёт сомножителя exp(jknΔ₀) не учитывается и тода вид передаточной функции упрощается

. (1.35)

В общем случае при наличии в сечении l круглой диафрагмы диаметром D (дифракционное отверстие) получаем более общее выражение для поля на выходе линзы

(1.36)

где Р(x,y) – функция зрачка, определяемая следующим образом:

(1.37)

Двухлинзовый фурье-процессор

Рассчитаем поле в фокальной плоскости линзы (x_f,y_f,z_f=F), расположенной справа за линзой по отношению к падающей на линзу слева оптической волне. Для этого подставим выражение (1.36) для поля в сечении l’ в формулу дифракции Френеля (1.30)

Вводя в полученном выражении пространственные частоты f_x= x_f/λF, f_y= y_f/λF полагая Р(x,y) =1 окончательно для поля в фокальной плоскости получаем

Если теперь в фокальной плоскости первой линзы расположить точно такую же вторую линзу с передаточной функцией (1.35), то в выходной плоскости второй линзы получим поле следующего вида:

(1.38)

где А = exp(jkF).

Выражение (1.38) представляет собой с точностью до множителя перед интегралом преобразование Фурье оптического поля на входе первой линзы.

Однолинзовый фурье-процессор

Рассмотрим оптическую систему, состоящей из тонкой линзы с фокусным расстоянием F, слоем пространства толщиной d перед линзой и слоем пространства толщиной F за линзой. Пусть на вход этой системы слева падает волна, которая в плоскости апертуры создаёт оптическое поле Ú(x,y).

Учитывая передаточную функцию линзы и дифракцию поля в слое пространства перед линзой и за линзой, для поля в фокальной плоскости линзы (выходной плоскости системы) получаем следующее выражение:

При условии d = F последнее выражение приобретает вид, аналогичный формуле (1.38).

Положительным свойством данной оптической системы является то, что в её конструкции используется только одна линза.

Отрицательных фактора у этой системы по сравнению с двухлинзовым процессором два:

1. в два раза увеличенный продольный размер системы;

2. если диаметр линзы недостаточно велик по сравнению с диаметром входной апертуры, то существует вероятность потери высокочастотных пространственных составляющих входного оптического сигнала, т.к. они при дифракции на входной апертуре сильнее отклоняются и могут не попасть на линзу, а следовательно будут отсутствовать в входном сигнале, что приведёт к его искажению.