Определители

Каждой квадратной матрице может быть поставлено в соответствие некоторое число, вычисляемое по определенному правилу с помощью элементов матрицы. Такое число называютопределителем (или детерминантом) матрицы и обозначают символомили. При этомпорядком определителя называют порядок соответствующей матрицы.

Правила вычисления определителей 2-го и 3-го порядков легко выписать:

,

Последнюю формулу, несмотря на внешнюю сложность записи, нетрудно запомнить. Если соединить линией каждые три элемента определителя, произведение которых входит в правую часть последней формулы со знаком «», то получим легко запоминающуюсясхему 1. Аналогично для произведений, входящих со знаком «–», имеем схему 2.

Схема 1 Схема 2

Это правило вычисления определителей 3-го порядка называется правилом треугольников.

Пример 4. Вычислить определитель матрицы второго порядка

.

Имеем det A=

Пример 5. Вычислить определитель матрицы третьего порядка

.

Получаем det A=

Понятие алгебраического дополнения

Пусть дана матрица -го порядка.Минором любого элемента называют определитель порядка, соответствующий той матрице, которая получается из матрицыв результате вычеркивания-й строки и-го столбца (т.е. той строки и того столбца, на пересечении которых стоит элемент). Минор элементабудем обозначать символом.

Алгебраическим дополнением элементаматрицыназывают минорэтого элемента, умноженный на, т.е.

. (1)

Пример 6. Задана матрица

.

Найти минор элемента , алгебраическое дополнение элемента.

Минором элемента является определитель матрицы, полученной вычеркиванием из матрицыА первой строки и третьего столбца:

Алгебраическое дополнение элемента найдем по формуле:

.

Обратная матрица

Определение. Пусть – квадратная матрица-го порядка. Квадратная матрица(того же порядка) называется обратной для, если

.

Матрицу, обратную к матрице , принято обозначать символом.

Теорема. Если , то для нее существует обратная матрица, которая вычисляется по формуле

, (2)

где – алгебраическое дополнение для элементаматрицы.

(Без доказательства)

Пример 7. Найти матрицу, обратную для матрицы

Вычислим определитель матрицы:

следовательно, обратная матрица существует. Формула (2) для матрицы второго порядка имеет вид

(3)

Алгебраические дополнения найдем по формуле (3):

Подставляя полученные значения алгебраических дополнений и определителя матрицы в формулу (3), получаем

Чтобы проверить, правильно ли найдена обратная матрица, умножим полученную матрицу на исходную.

В результате умножения получилась единичная матрица, значит, обратная матрица найдена правильно.

Пример 8. Найти матрицу, обратную для матрицы

А=

Вычислим определитель матрицы по правилу треугольников:

detA=

следовательно, обратная матрица существует.

Для матрицы третьего порядка, каковой является заданная матрица, формула (2) вычисления обратной матрицы принимает вид:

. (4)

Найдем алгебраические дополнения по формуле (4).

,

, ,

Подставляя полученные значения алгебраических дополнений и определителя матрицы в формулу (4), получаем

.

Сделаем проверку:

Следовательно, обратная матрица найдена верно.