матанал / 3_sem_211

Практические занятия по математическому анализу для студентов ф-та КНиИТ, 3 семестр

Л.В. Сахно

25 ноября 2019 г.

Содержание

1.1Вычисление двойных интегралов. . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2Замена переменных в двойных интегралах. . . . . . . . . . 7

1.3Вычисление площадей и объемов с помощью двойных интегралов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4.1Поверхностные интегралы первого рода. . . . . . . . . . . . 20

4.2Поверхностные интегралы второго рода. . . . . . . . . . . . 21

1

6.1Комплексные числа. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

6.2Функции комплексного переменного. Степенные ряды. Ряды Тейлора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1 Двойные интегралы

1.1Вычисление двойных интегралов.

1.Вычислить двойные интегралы по указанным прямоугольникам D:

RR

1)xydxdy; 3 x 5; 0 y 1;

G

2) RR xy2dxdy; 2 x 4; 0 y 1;

G

3) RR xy dxdy; 1 e 5; 4 y 6;

G

RR

4)(x y)dxdy; 1 x 4; 1 y 3;

G

RR

Для заданного множества G записать интеграл G f(x; y)dxdy в виде повторных интегралов с разными порядками интегрирования.

2. G- треугольник, ограниченный прямыми:

2

1)x = 0; y = 0; 2x + 3y = 6;

2)y = 0; y = 4x; x = 5;

3)x = 6; y = 6; x + y = 3;

4)x = a; y kx = 0; y + lx = 0; a > 0; k > 0; l > 0:

3.G- четырехугольник, ограниченный прямыми (a > 0):

1)x = 0; y = 0; y = a; x + y = 2a;

2)x = 0; x = a; y = x; x + y = 3a;

3)y = 0; y = a; x + y = 0; x + y = 2a;

4)2y = x; 2y = x + 6; y = 2x; y = 2x 3;

5)x = 0; y = 0; x y = a; x + y = 2a:

4.G ограничено линиями:

1)y = x2; x + y = 2;

2)x = 0; x = py; x = p2 y;

3)y = 0; x = py; ; x + y = 6;

pp

4) x = 4 y2; x = 4y y2; y = 2;

5)x = 0; x = 1; x = y2; y = ex;

6)x = 0; x = =2; y = sin x; y = 2 + cos x:

5.G задано неравенствами (a > 0; R > 0):

1)x2 + y2 2ax;

2)x2 + y2 2Ry; x 0;

3)x2 + y2 4y; y x;

4)x2 + y2 R2; x + y R;

5)x2 + y2 R2; x2 + y2 2Ry;

6)x2 + y2 2x + 2y 1; 0 x 1; 0 y 1;

7)x2 + y2 2x + 2y 1; 1 x 2; 0 y 1;

8)y x2; y 12 x2 + 12 ;

9)(x + 1)2 + y2 1; (x 1)2 + y2 1; 0 y 1;

3

10)(x + 1)2 + (y 1)2 1; x + y 1 0; y 0;

11)x2 + y2 1; x + y 1 0; y 0;

12)x2 + y2 1; x + y 1 0; x + y + 1 0;

6.Записать повторный интеграл или сумму повторных интегралов в виде двойного и нарисовать множество интегрирования:

Z Z

ZZ

4

8.Выразить сумму повторных интегралов через один повторный интеграл, переменив порядок интегрирования:

5

1)

Вычислить двойные интегралы по областям G; ограниченным указанными линиями:

RR

9.(x y)dxdy; x = 0; y = 0; x + y = 2;

G

G

RR

13.xydxdy; xy = 6; x + y 7 = 0;

G

14. RR xy2dxdy; x2 + y2 = 4; x + y 2 = 0;

G

15. RR sin(x + y)dxdy; y = x; x + y = 2 ; y = 0;

G

Вычислить двойной интеграл:

6

RR

16.sin(x y)dxdy; где D - треугольник с вершинами A(1; 1); B(3; 5); C(7; 3);

D

RR

17.cos(x+y)dxdy; где D - треугольник с вершинами A(3; 1); B(1; 5); C(7; 3);

D

RR

18.cos(x y)dxdy; где D - треугольник с вершинами A(1; 1); B(3; 3); C(7; 3);

D

RR

19.sin(x+2y)dxdy; где D - треугольник с вершинами A( 1; 1); B( 3; 5); C( 7; 3);

1.2Замена переменных в двойных интегралах.

RR

В интеграле f(x; y)dxdy перейти к полярным координатам и за-

G

писать его в виде повторных интегралов, расставив пределы интегрирования в разных порядках (все параметры положительны):

21.D = f(x; y) : x2 + y2 a2g:

22.D = f(x; y) : x2 + y2 a2; y 0g:

23.D = f(x; y) : x2 + y2 a2; y 0g:

24.D = f(x; y) : x2 + y2 axg:

25.D = f(x; y) : x2 + y2 ayg:

26.D = f(x; y) : a2 x2 + y2 b2g; 0 < a < b:

27.D = f(x; y) : x2 + y2 a2; y xg:

28.D = f(x; y) : a2 x2 + y2 4a2g; jxj y 0:

29.D- треугольник с вершинами O(0; 0); A(1; 0); B(0; 1):

30.D- треугольник с вершинами O(0; 0); A(1; 1); B( 1; 1):

31.D- треугольник с вершинами O(0; 0); A(1; 0); B(1; 1):

7

32. D- квадрат с вершинами O(0; 0); A(0; 1); B(1; 0); C(1; 1):

RR

В интеграле f(x; y)dxdy перейти к полярным координатам и за-

G

'2 r2(')

RR

'1 r1(')

33.D = f(x; y) : (x 1)2 + y2 1; x2 + (y 1)2 1g:

34.D = f(x; y) : (x 1)2 + y2 1; 0 x 1g:

35.D = f(x; y) : (x 1)2 + y2 1; 1 x 2g:

36.D = f(x; y) : (x 1)2 + y2 1; x2 + y2 1g:

37.D = f(x; y) : x2 + y2 1; x2 + (y 1)2 1g:

38.D = f(x; y) : x2 + (y 1)2 1; 1 x 0g:

39.D = f(x; y) : (x 1)2 + y2 1; y + x 0g:

Вычислить интегралы, перейдя к полярным координатам:

D

8

D

Ввести новые переменные u и v и вычислить следующие интегралы:

1.3 Вычисление площадей и объемов с помощью двойных интегралов.

Вычислить площади областей, ограниченных линиями:

56.y2 = x + 1; x + y = 1:

57.xy = 4; x = 1; y = 2:

58.xy = 4; y = x; x = 4:

59.y = x2:4y = x2; y = 4:

60.y2 = 4 + x; x + 3y = 0:

61.y = x2 2x; y = x:

9

62.y = sin x; y = cos x; x = 0:

Переходя к полярным координатам x = r cos '; y = r sin ' либо обобщенным полярным координатам x = ar cos '; y = br sin '; вычислить площадь области, ограниченной следующими кривыми:

63.x2 + y2 = R2:

64.xa22 + yb22 = 1:

65.(x2 + y2)2 = 2ax3:

66.(x2 + y2)3 = a2(x4 + y4):

67.(x2 + y2)3 = 4a2x2y2:

68.xa22 + yb22 2 = xyc2 :

69.xa22 + yb22 2 = xc22 :

Вычислить объемы тел, ограниченных поверхностями:

70.x = 0; y = 0; z = 0; x + y + z = 1:

71.x = 0; y = 0; z = 0 ; x + y = 1; z = x2 + y2:

72.z = x2 + y2; y = x2; y = 1; z = 0:

p

73.z = x2 + y2; x2 + y2 = a2; z = 0:

74.z = x2 + y2; x = x2 + y2; 2x = x2 + y2; z = 0:

75.x2 + y2 + z2 = 2z; x2 + y2 = z:

Найти объемы тел:

76.x2 + y2 + z2 R2:

77.0 z x2; x + y 5; x 2y 2; y 0:

78.x2 + y2 a2; z 0; x + y + z 4a 0:

79.x2 + y2 a2; x + y + z a; z 0:

80.z 0; x + z 1; x y2:

10