Добавил:

SSU_CSIT Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Саратовский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

матанал / 3_sem_211

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

18.08.2022

Размер:

273.08 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 44

271.

272.

273.

274.

275.

276.

277.

(1 z2)2

(1 z6)2

(1+z3)2

(1+z)3

(z+1)(z 2)

2z 5

z2 5z+6

2z 1

4z2 2z+1

278.

279.

280.

281.

282.

283.

284.

1+z+z2

(z2+1)(z 1)

(z2+1)(z2 4)

(z2+1)(z 1)

(z2+1)(z2 4)

1+z+z2

2z 1

4z2 2z+1

Разложить в ряд Тейлора в окрестности точки z = z0 следующие функции:

285.

; z0

= 2

288.

z+3

; z0 = 1

(z+1)(z2

+4z+5)

(z+2)(z2 2z+5)

286.

z+5

; z0

= 1

289.

z2+1

; z0

= 2

(z+1)(z

2z+5)

4z+5

287.

2 z

; z0 = 1

290.

z2+5

; z0

= 1

z3+2z2+5z

+7z+12

Разложить в ряд Тейлора в окрестности точки z = 0 следующие функции:

291.	sin2 z	294.	ez sin z
292.	cos3 z	295.	cos2 z + ch2 z
293.	sin4 z + cos4 z	296.	ch z cos z

С помощью метода неопределенных коэффициентов найти первые три отличные от нуля члена разложения следующих функций в ряд Тейлора в окрестности точки z = 0 :

297.	tg z		300.	ez sin z
298.	ez cos z		301.	eez
299.		z	302.	ez=1 z
		(1 z2) sin z	302.	ez=1 z

6.3 Ряды Лорана. Особые точки. Вычеты и их применение

303. Опираясь на разложение

									1				1
													X
													= zn;
								1 z					n=0
													n=0
справедливое при jzj < 1; доказать равенства:
1)										1
				1						1
									X
					z b			= n=					b n 1zn (jzj > jbj)
												1
2)									1
				1					1
									X
				z2 b2				= n=					b 2(n+1)z2n (jzj > jbj)
											1
3)				z2					1
				z2					1
							=		X				( 1)nb 2nz2n (jzj > jbj)
			z2 + b2				=						( 1)nb 2nz2n (jzj > jbj)
								n=1
4)									2
				1					2
									X				(n + 1)b n 2zn (jzj > jbj)
		(z b)2				= n=							(n + 1)b n 2zn (jzj > jbj)
										1
5)
1			1
		X
z b	= n=				(b a) n 1(z a)n (a 6= b; jz aj > jb aj)
				1

Разложить данную функцию в ряд Лорана либо в указанном кольце, либо в окрестности указанной точки. В последнем случае надлежит определить область, в которой разложение имеет место.

304.	1	в окрестности точек z = 0 è z = 1:
	z 2	в окрестности точек z = 0 è z = 1:
305.	1		в окрестности точек z = 0; z = 1; z = 1:
	z(1 z)		в окрестности точек z = 0; z = 1; z = 1:


306.	z2 2z+5		в окрестности точки z = 2	и в кольце	1 < jzj < 2:
	z2 2z+5			и в кольце
	(z 2)(z2+1)
307.	1	в окрестности точек z = i è z = 1:
	(z2+1)2	в окрестности точек z = i è z = 1:
308.	z4+1		в кольце 1 < jzj < 2:
	(z 1)(z+2)		в кольце 1 < jzj < 2:

309.z2e1=z в окрестности точек z = 0 и z = 1:

310.e1=(z 1) в окрестности точек z = 1 и z = 1:

2	4 2 в окрестности точки	z = 2:
311. cos z	4 2 в окрестности точки	z = 2:
	z

(z 2)

312.z2 sin z 1 1 в окрестности точки z = 1:

313.sin z sin z1 в области 0 < jzj < +1:

Найти особые точки функций, выяснить их характер и исследовать поведение функций на бесконечности.

314.

315.

316.

317.

318.

z z3

1+z4

(1 z)2

z(z2+4)2

1+z2

319. z2+1

320.ze z

321.ez1 1 z1

322.ze1=z

323.ez=(1 z)

324.ez 1=z

325.1

sin z

326. cos z

327.ctg z z1

328.ctg z1 z1

Найти вычеты указанных функций во всех изолированных особых точках и в бесконечности ( если она не является предельной для особых точек).

329.

330.

331.

332.

333.

1			334.		ez				339.
z3 z5				z2(z2+9)
z2			335.	1					340.
(z2+1)2
(z2+1)2				sin z
1			336.	z3 cos				1	341.
1
z(1 z	2	)
	2						z 2
							z 2
2						z			342.
z2+z 1			337.	sin		z
z2+z 1			337.	sin		z+1
z (z 1)						z+1
z (z 1)
sin 2z								1	343.
			338.	sin z sin z
(z+1)3			338.	sin z sin z

cos z

(z 1)2

sin z2

ez+1

1+z8

z6(z+2)

1+z10

z6(z2+4)

Вычислить интегралы

344.

1+dzz4 ;

D : jz 1j < 1:

D : jz 1 ij < 2:

345.

;

(z 1)2(z2+1)

D : jzj < 2:

346.

;

(z 3)(z5 1)

z3dz

347.

; D : jzj < 1:

2z4+1

ezdz

D : jzj < 1:

348.

;

z2(z2 9)

349.

D : jzj < 2:

zz+1 ez dz;

sin z+1z dz;

D : jzj > 3:

350.

z sin zz+11 dz;

D : jzj < 2:

351.

sin z 1

1 dz;

D : jz 1j > 1:

352.

z dz

D : jzj > 4:

ez2

1 dz;

353.

6.4 Конформные отображения

354.Найти образы множеств E при отображении указываемыми функциями:

1)	E : Im z = 1; w = z 1
			z+1
2)	E : jz + 1j = 1; w = z1
3)	E : jzj = 2; w =	z
		z+1
4)	E : Re z = 1; w =			z
			z+1

		i+z
5)	E : jzj = 1; w = i z				; w = z2
6)	E : jzj = 1; 0 arg z 4

7)E : Re z = 1; w = z2

8)E : Im z = 1; w = z2

9)E : jzj = 2; w = 12 z + z1

10)E : jzj = 12 ; w = 12 z + z1

11)E : arg z = 4 ; w = 12 z + z1

355.Найти образ круга jz 1j < 2 при следующих отображениях:

1)	w = 1 2iz		3)	w =
2)	w =	2iz	4)	w =

	z+3

z+1 z 2

z 1 2z 6

356.Найти образ полуплоскости Re z < 1 при следующих отображениях:

1) w = (1 + i)z + 1

2) w = z

z 1+i

357.Найти образы при отображении

1)Im z > 0

2)< arg z < 32

3)Im z < 1

4)jzj < 2; 0 < arg z < 2

358.Найти образы при отображении

1)jzj > 2

2)jzj < 12

3)4 < arg z < 34

4)4 < arg z < 34 ; z 2= [0; i]

5)jzj < 1; z 2= [0; 1]

3)w = z z 2

4)w = z4+1z

w = z2 следующих областей:

5)Re z > 0

6)jzj < 1; 54 < arg z < 32

7)jzj > 12 ; Re z > 0

8)Re z > 1

w= 12 (z + z1 ) следующих областей:

6)jzj > 1; z 2= [ 2; 1]; z 2=

[1; +1]

7)jzj < 1; 0 < arg z < 2

8)jzj < 1; 34 < arg z < 4

359.Найти образы следующих областей D при отображении указываемыми функциями:

1) D : < Im z < 0 ; w = ez

2)D : jIm zj < ; w = ez

3)D : jIm zj < 2 ; w = ez

D :

0 < Im z < 2 ; Re z > 0

; w = e2z

D :

0 < Im z < 2 ; Re z > 0

; w = ez

D :

0 < Re z < ; Im z > 0 ; w = eiz

D :

Im z

< 4 ; w = th z

D :

0 < Re z < ; w = tg z

10)

D :

< Re z < 2

; w = cos z

w = cos z

D :

< Re z < ; Im z > 0

;

D :

< Re z < 2

= sin

11)

D :

Im z < ; Re z > 0 ;

= sh

12)

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 44

Соседние файлы в папке матанал

#
18.08.2022273.08 Кб153_sem_211.pdf
#
18.08.2022718.15 Кб8Chast_3.pdf
#
18.08.2022143.55 Кб7Dom_kontr_3.pdf
#
18.08.20222.06 Mб5IMG_20191029_120459.jpg
#
18.08.20223.12 Mб8Matan.docx
#
18.08.202235.95 Кб5matan_kollok_3_sem.docx