матанал / 3_sem_211

RRR p

88.

V

x2 + y2 + z2dxdydz; ãäå V = f1 x2 + y2 + z2 8g;

89.

RRR

(x2 +y2 +z2)dxdydz; ãäå V = f1 x2 +y2 +z2 4; x 0; y 0g;

V

90.

RRR

p

z

dxdydz; ãäå V = f1

x

2

+ y

2

+ z

2

4; x 0; z 0g;

V

x2

+y2

+z2

91.

RRR

x

dxdydz; ãäå V = f1

x

2

+ y

2

+ z

2

4; x 0; z 0g;

x2+y2+z2

RRR

y

2

2

2

92.

V

x2+y2+z2

dxdydz; ãäå V = f1 x

+ y

+ z

4; x 0g;

93.

RRR

(x2 +y2 +z2)dxdydz; ãäå V = f1 x2 +y2 4; x 0; 0 z 5g;

V

94.

RRR

(x2 + y2)dxdydz; ãäå V = f(x2 + y2)=2 z 4g;

V

95.

V

(x2 + y2)2dxdydz; ãäå V = f(x2 + y2)=2 z 4g; x 0g;

RRR

96.

RRR (x2 + y2)2dxdydz; ãäå V = fx2 + y2 z 6; y 0g;

V

97.

RRR

(x2 + y2)dxdydz; ãäå V = f0 z x2 + y2; x2 + y2 6g;

V

98.

RRR

(x2 + y2)dxdydz; ãäå V = fx2 + y2 z 4g; y p3xg;

V

Вычислить

99.

RRR xyzdxdydz; ãäå V = fx2 + y2 + z2 ap

x; x2 + y2 + z2 ay;

3

V

z 0g:

100.

V

z2dxdydz; ãäå V = fx2 + y2 + z2 R2; x2 + y2 + z2 2Rzg:

RRR

x2

y2

z2

101.

+

+

dxdydz; где область V

ограничена поверхностью

2

2

2

a

b

c

V

y2

z2

.

x2

RRR

a2

+

b2

+

c2

= 1

103.

p

cos t); 0

yds; где C- арка циклоиды x = a(t sin t); y = a(1

Rt

2 :

C

Rt cos t);

0

t

2 :

a(sin t

104.

(x2 + y2)ds; где C- кривая

x

=

a(cos t + t sin t);

y

=

C

Rt cosp

t

2 :

a(sin t

t);

0

105.

x2

+ y2ds; где C- кривая

x

=

a(cos t + t sin t);

y

=

C

R

yds по параболе y2 = x от точки (0; 0) до точки (4; 2):

106.

C

R

xds по параболе y = x2 от точки (1; 1) до точки (2; 4):

107.

C

R

112.

x2ds; где C- дуга окружности x2 + y2 = a2; y 0:

C

R

113.

(x y)ds; где C- окружность x2 + y2 = ax:

C

R p

114.

x2 + y2ds; где C- окружность x2 + y2 = ax:

C

Вычислить криволинейный интеграл первого рода по простран-

ственной кривой.

115.

R (x2 + y2 + z2)ds; где C - виток винтовой линии x = a cos t; y =

C

z = bt; 0 t 2 :

a sin t;

116.

1

ds; где C - виток винтовой линии x = a cos t; y = a sin t; z =

x2+y2+z2

C

t

:

bt;

0

R

2

R

z2

0

2

117.

x2

+y2 ds; где C - виток винтовой линии x = a cos t; y = a sin t; z =

C

bt;

t

:

Rt sin t;

z = t; 0

t

2 :

118.

zds; ãäå C

- дуга конической винтовой линии x = t cos t; y =

C

R p

119.

(

x2 + y2 + z)ds; где C - дуга конической винтовой линии x =

C

t cos t;

y = t sin t;

z = t; 0

t

2 :

R p

120.

2y2 + z2ds; где C - окружность x2 + y2 + z2 = a2; x = y:

C

R

x2ds; где C - окружность x2 + y2 + z2 = a2; x + y + z = 0:

121.

C

R

xyzds; где C - четверть окружности x2 + y2 + z2 = a2; x = y;

122.

C

расположенная в первом октанте.

R

(x + y)ds; где C - четверть окружности x2 + y2 + z2 = a2; x = y;

123.

Rt =2:

125.

xdy + ydx; где C - дуга окружности x = R cos t; y = R sin t; 0

C

R

ydx xdy; где C - эллипс x = a cos t; y = b sin t; 0 t 2 :

126.

C

127.

y2dx + x2dy; где C - верхняя половина эллипса x = a cos t; y =

C

t:

b

Rsin

129.

R

xydx; где C - дуга синусоиды y = sin x; 0 x :

C

(x y1 )dy; где C - дуга параболы y = x2; 1 x 2:

130.

R

C

131.

R

xdy ydx; где C - кривая y = x3; 0 x 2:

C

2xydx + x2dy; где C - дуга параболы y = x42 ; 0 x 2:

132.

R

C

p

R

2

где - кривая

133.

C

(xy y )dx + xdy;

C

y = 2

x; 0 x 1:

134.

R

(x2 2xy)dx + (y2 2xy)dy; где C - парабола y = x2; 1 x 1:

C

135.

R

(x2 + y2)dx + (x2 y2)dy; где C - кривая y = 1 j1 xj; 0 x 2:

136.

R

xydx y2dy; где C - дуга параболы y2 = 2x; A(0; 0); B(2; 2):

C

3yx dx 2xy3 dy; где C - дуга параболы x = y2

137.

R

; A(4; 2); B(1; 1):

C

xy dx y xx dy; где C - дуга параболы y = x2

138.

R

; A(2; 4); B(1; 1):

C

139.

C

xdy; где C - полуокружностьx2+y2 = a2; x 0; A(0; a); B(0; a); a >

R

C

145.

R

x

y

+ y dx +

+ x dy; A(1; 0); B(3; 4):

C

x2+y2

x2+y2

Вычислить криволинейный интеграл второго рода по замкнутой

плоской кривой, ориентированной потив хода часовой стрелки.

R

x = 1; x = 3; y = 1; y = 5:

146.

(x2

+ y2)dx; где C - граница прямоугольника, образованного пря-

C

ìûìè

R

x = 0; x = 2; y = 0; y = 1:

147.

C (x2 2xy)dx + (x

2y)2dy; где C - граница прямоугольника, обра-

зованного прямыми

R

148.

C (3x2 y)dx+(1 2x)2dy; где C - граница треугольника с вершинами

(0; 0); (1; 0); (1; 1):

R

149.

C (x2+y2)dx+(x2 y2)dy; где C - граница треугольника с вершинами

(0; 0); (1; 0); (0; 1):

R

dx+dy

150.

jxj+jyj; где C - граница квадрата с вершинами (1; 0); (0; 1); ( 1; 0); (0; 1):

C

151.

R

(x+y)dx+(y x)dy

ãäå

- окружность

2

2

2

C

x2+y2

;

C

x + y

= R :

(x + y)dx + (x y)dy; где C - эллипс xa22 + yb22

152.

R

= 1:

R sin

=

0

2

153.

ydx + zdy + ydz; где C - виток винтовой линии x = a cos t; y =

C

a

t;

z

bt;

t

:

Rt

1:

154.

(y2

z2)dx+2yzdy x2dz; где C - кривая x = t; y = t2; z = t3; 0

C

155.

(y + z)dx + (z + x)dy + (x + y)dz; где C - кривая x = a sin2 t; y =

Ra

t

t; z

a

2 t;

t

:

C

0

2

sin

cos

=

cos

156.

xdx + (x + y)dy + (x + y + z)dz; где C - кривая x = a sin t; y =

C

a

t;

z

=

a

(sin

t

t ;

0

t

:

R cos

+ cos )

2

R sin

( =

)

157.

ydx+zdy+ydz; где C - окружность x = a cos cos t; y = a cos sin t; z =

C

a

const :

159.

p

xdx+ydy+zdz

; где C - отрезок AB; пробегаемый от точки A(1; 1; 1)

C

x2+y2+z2 x y+2z

R

B(4; 4; 4):

к точке

163.

R

(xy + x + y)dx + (xy + x y)dy; где C - эллипс xa22 + yb22 = 1:

C

(2xy y)dx + x2dy; где C - эллипс xa22

+ yb22 = 1:

164.

R

C

R

xdy+ydx

2

2

165.

x2+y2

; где C - окружность (x 1)

+ (y 1) = 1:

C

166.

R

(x+y)2dx (x2+y2)dy; где C - треугольник с вершинами (1; 1); (3; 2); (2; 5):

C

167.

R

ey2 x2

cos 2xydx + sin 2xydy ; где C - окружность x2 + y2 = R2:

C

R

y > 0:

168.

C (ex sin y y)dx + (ex cos y 1)dy; где C - граница области x2 + y2 <

ax;

169.

R

dx dy

где - граница квадрата с вершинами

(1; 0); (0; 1); ( 1; 0); (0; 1):

x+y ;

C

C

y2p

p

R2

:

R

=

170.

x2 + y2dx + y(xy + ln(x + x2 + y2))dy; где C - окружность x2 +

178.

C

xdx + y2dy z3dz; A( 1; 0; 2); B(0; 1; 2):

R

179.

R yzdx + xzdy xydz; A(2; 1; 0); B(1; 2; 3):

C

R

xdx+ydy+zdz

2

2

2

2

180.

px2

x + y + z = R2 (R1 > 0; R2 > 0:

+ y

+ z

= R1

; S2 -

C

+y2

+z2

; A 2 S1

; B 2 S2; ãäå S1 - сфера x

сфера

2

2 2

2

186.

x = 3t; y = 3t2; z = 2t3; 0 t 1:

187.

p

x = t cos t; y = t sin t; z = t; 0 t 2:

188.

x = a(1 + cos t); y = a(t sin t); z = 4a sin(t=2); 0 t 2 :

x = t cos t2; y = t sin t2; z = t2; 0 t p

:

189.

2