Лекция 4. Манипуляции с изображениями
1. Что такое свертка
В случае работы с изображениями — свёртка — это операция вычисления нового значения заданного пикселя, при которой учитываются значения окружающих его соседних пикселей.
Главным элементом свёртки является т.н. ядро свёртки — это матрица (произвольного размера и отношения сторон; чаще всего используется квадратная матрица (по-умолчанию, размеры 3х3)). У ядра свёртки есть важный параметр — якорь — это элемент матрицы (чаще всего — центр), который прикладывается к заданному пикселю изображения.
Работает свёртка очень просто:
При вычислении нового значения выбранного пикселя изображения, ядро свёртки прикладывается своим центром к этому пикселю. Соседние пиксели так же накрываются ядром.
Далее, вычисляется сумма произведений значений пикселей изображения на значения, накрывшего данный пиксель элемента ядра.
Полученная сумма и является новым значением выбранного пикселя.
Теперь, если применить свёртку к каждому пикселю изображения, то получится некий эффект, зависящий от выбранного ядра свертки.
Свертка синусоиды дает синусоиду с той же частотой с другой фазой (сдвигом) и магнитудой A
Причины: свертку можно записать как композицию сдвигов исходного сигнала
Сумма синусоид с одной частотой есть синусоида с той же частотой
Преобразование Фурье в контексте манипуляции с изображениями
Преобразование Фурье сопоставляет h(x) магнитуды и фазовые сдвиги получаемые при сворачивании h(x) с синусоидами с всевозможными частотами
Преобразование Фурье (ℱ) — операция, сопоставляющая одной функции вещественной переменной другую функцию, также вещественной переменной. Эта новая функция описывает коэффициенты («амплитуды») при разложении исходной функции на элементарные составляющие — гармонические колебания с разными частотами. – ЭТО ГЛАВНОЕ 3. Интегралы и ряды Фурье, что такое быстрое преобразование Фурье Преобразование Фурье функции f вещественной переменной является интегральным и задаётся следующей формулой:
Дискретное преобразование Фурье (в англоязычной литературе DFT, Discrete Fourier Transform) — это одно из преобразований Фурье, широко применяемых в алгоритмах цифровой обработки сигналов (его модификации применяются в сжатии звука в MP3, сжатии изображений в JPEG и др.), а также в других областях, связанных с анализом частот в дискретном (к примеру, оцифрованном аналоговом) сигнале. Дискретное преобразование Фурье требует в качестве входа дискретную функцию. Такие функции часто создаются путём дискретизации (выборки значений из непрерывных функций). Дискретные преобразования Фурье помогают решать дифференциальные уравнения в частных производных и выполнять такие операции, как свёртки. Дискретные преобразования Фурье также активно используются в статистике, при анализе временных рядов. Существуют многомерные дискретные преобразования Фурье.
Дискретное преобразование Фурье является линейным преобразованием, которое переводит вектор временных отсчётов в вектор спектральных отсчётов той же длины. Таким образом преобразование может быть реализовано как умножение симметричной квадратной матрицы на вектор:
Быстрое преобразование Фурье (БПФ, Fast Fourier transform - FFT) представляет собой определенный алгоритм вычисления, который позволяет уменьшить количество производимых действий относительно прямого (по формуле) вычисления ДПФ. В основе алгоритма заложено разбиение заданной последовательности отсчетов дискретного сигнала на несколько промежуточных последовательностей. Следует отметить, что алгоритм БПФ точнее стандартного ДПФ, т.к. при сокращении операций снижаются суммарные ошибки округления.