1. Параметры эксперимента. Пассивный и активный эксперимент. Модели объекта эксперимента. Эксперимент – система воздействий и наблюдений, направленных на получение информации об объекте исслед. Испыт.

Параметры эксперимента (вектора): - X – контролируемых и изменяемых - Z – контролируемых, но не изменяемых - W – не контролируемых и не изменяемых (случайные воздействия)

Фактор - возд. измен. и контр.? причина, движущая сила какого-либо процесса, определяющая его характер или отдельные его черты. Факторное пространство – область возможных значений факторов. Функция отклика - выход системы (Y - вектор отклика, y - функции отклика)

Эксперимент: - Активный (с вектором X); - Пассивный (с вектором Z);

Для сложных объектов и их исследования используются модели.

Модель - упрощенная система, отражающая отдельные, наиболее важные стороны объекта.

Модели: - Физические модели - (той же или иной природы) - воспроизведение интересующих свойств исходного объекта в рамках заданного приближения; - Математические модели - описание при помощи математического аппарата;

Объекты (процессы): - Детерминируемые объекты - объекты, поведение которых однозначно определено; - Стохастические объекты - параметры объекта изменяются случайно;

Им соответствуют детерминируемые и стохастические модели.

2. Случайная величина. Статистическое распределение и его графические представления. Случайная величина - величина, которая в результате испытания принимает одно значение, неизвестное наперед, зависящее от случайных причин. Случайные величины: - Дискретная - значение из множества; - Непрерывная - величины являются непрерывными;

Вариационный ряд - ряд в порядке возрастания; Объем выборки - число измерений Относительная частота - n_i/n Статистическое распределение - соответствие между вариантами и их частотами; Полигон частот - ломаная линия, отрезки которой соединяют точки соответствующих срединным значениям интервалов группировки и частотам этих интервалов Гистограмма (непрерывная случайная величина): 1) Интервал значений разбивается на несколько интервалов определенной длины. 2) Определяем сумму частот, вариантов, попавших в каждый из интервалов и плотность частоты для каждого интервала. Кумулятивная кривая: Кривая является суммой частот.

3. Числовые характеристики случайной величины.

Математическое ожидание - среднее значение случайной величины, равно сумме произведений значений случайной величины на их вероятности; Дисперсия - рассеяние значений вокруг среднего значения; Среднеквадратическое отклонение(сигмаσσ) - средняя степень разброса значений случайной величины относительно среднего значения. σσσсигма♂ ♂♂(x) =

4. Общая характеристика полного факторного эксперимента и нормирование масштаба факторов.

В полном факторном эксперименте учитывается влияние на функцию отклика исследуемого процесса не только каждого рассматриваемого в эксперименте фактора в отдельности, но и их взаимодействий.

ПФЭ относится к активным экспериментам (имеется возможность манипулировать факторами).

Взаимодействие факторов - эффект влияния изменения значений одного или нескольких факторов на характер изменения функции отклика Y от изменения другого фактора.

Нормирование масштаба факторов - переход от абсолютных значений к нормируемым.

Уровни: -Верхний уровень (+1); -Нижний уровень (-1);

Для обеспечения независимой оценки коэффициентов полинома (многочлена) необходимо обеспечить ортогональность матрицы планирования.

Матрица является ортогональной, если сумма значений в столбце равна нулю (сумма произведений значений, приведенных в каждой строке двух любых из этих столбцов матрицы не равна нулю.)

5. Матрица планирования пфэ.

Матрица планирования представляет собой таблицу, включающую в себя столбцы: номер опыта, нормируемые (нормированные?) неповторимые комбинации факторов, парные взаимодействия факторов и значения функции отклика.

Точки факторного пространства соответствуют каждой строке.

Количество строк (опытов) N = 2ⁿ, n - количество факторов.

Для обеспечения независимой оценки коэффициентов полинома (многочлена) необходимо обеспечить ортогональность матрицы планирования.

Матрица является ортогональной, если сумма значений в столбце равна нулю (сумма произведений значений, приведенных в каждой строке двух любых из этих столбцов матрицы не равна нулю.)

6. Порядок постановки ПФЭ.

Проводится несколько серий опытов (обычно 2); Количество опытов N = 2ⁿ, n - количество факторов. Последовательность проведения опытов определяется случайно.

Находятся средние значения y:

7. Проверка воспроизводимости опытов ПФЭ. Проверяется статистическая гипотеза (о воспроизводимости опыта).

1. Для точек ф.п. определяется дисперсия воспроизводимости опыта: Пример:

2. Критерий Кохрена: Из таблицы критических значений берется значение для выбранной вероятности ошибки и степеней свободы f1 = m - 1; f2 = N, сравнивается с расчетным. Если G_Р < G_КР - гипотеза о воспроизводимости опыта принимается; Если не принимается, то следует повторить опыты, увеличив интервалы варьирования.

8. Расчет коэффициентов регрессионного уравнения в ПФЭ.

Регрессионное уравнение:

, i ≠ K

, i ≠ K ≠ r

9. Проверка значимости коэффициентов регрессионного уравнения в ПФЭ.

Если коэффициент значим - оставляется, если нет - обнуляется (удаляется слагаемое из уравнения).

t-критерий , v = 1..w, w - кол слагаемых регр. уравнения

D_b - дисперсия ошибок определения коэф регр. уравнения

, m - количество серий;

D_y - дисперсия воспроизводимости эксперимента;

t_кр - критерий Стьюдента, берется из таблицы.

Условия выбора: - вероятность ошибки q (или уровень значимости) - число степеней свободы f = N(m - 1), где m - число серий опытов

t_р > t_кр - коэффициент значим, в противном случае приравнивается нулю.

10. Проверка адекватности регрессионного уравнения в ПФЭ.

Модель адекватна - верно устанавливает связь между факторами и функцией отклика.

Дисперсия воспроизводимости эксперимента (D_y) сравнивается с дисперсией адекватности (D_ад).

y_jР - расчетное значение функции отклика в j-ой точке факторного пространства, рассчитанное по полученной математической модели.

, L - число не значащих коэффициентов регр. уравнения;

Если D_ад ⩽ D_y - математическая модель адекватна; Если D_ад > D_y - переход к критерию Фишера;

F_расч = D_ад / D_y

Если F_расч < F_КР - математическая модель адекватна; Если F_расч > F_КР - не адекватна, не верно описывает связь (переход к уравнению 2-го порядка);

11. Общая характеристика дробного факторного эксперимента. Генератор плана.

Число опытов ПФЭ 2ⁿ быстро растет с увеличением числа факторов n, и при больших n этот вид эксперимента оказывается практически неприемлемым. Однако число опытов можно сократить, если априори известно, что на процесс не оказывают влияния те или иные взаимодействия (парные взаимодействия).

ДФЭ - система опытов, представляющая собой часть ПФЭ, позволяющая рассчитать коэффициенты уравнения регрессии и сократить объем экспериментальных данных.

Для построения МП ДФЭ из имеющихся n факторов отбирают (n–p) основных факторов, для которых строят МП как для ПФЭ. Эту матрицу дополняют затем p (p - число взаимодействий, замененных факторами, учитываемых в эксперименте) столбцами, соответствующими оставшимся факторам. Уровни дополнительных факторов определяют как поэлементное умножение уровней не менее двух и не более (n–p) основных факторов. Говорят, что ДФЭ – это эксперимент типа 2^n-p.

Выбранное для дополнительного фактора произведение называется генератором плана (поскольку определяет для дополнительного фактора правило чередования уровней варьирования в МП). Очевидно, что ДФЭ типа 2^n-p будет иметь p генераторов.

Например, для ДФЭ типа 2^3-1 число опытов равно четырем опытам по сравнению с 16 опытами в случае ПФЭ(16?????? скорее 8). При трех основных факторах ДФЭ содержит 8 опытов, а генераторами для дробных планов могут служить произведения x₁x₂, x₁x₃, x₂x₃, x₁x₂x₃.

12. Матрица планирования ДФЭ.

Матрица планирования ДФЭ представляет собой часть матрицы ПФЭ, не включающая не оказывающих влияния взаимодействий. (Если априори известно, что на процесс не оказывают влияния некоторые парные взаимодействия)

Такой сокращенный план содержит половину опытов от ПФЭ, и называется п о л у р е п л и к о й.

число опытов - 2^N-I, (I - число взаимодействий, замененных факторами, учитываемых в эксперименте).

13. Контраст плана и обобщающий контраст плана в ДФЭ.

14. Матрица планирования ортогонального центрального композиционного плана.

Число опытов в ОЦКП: N_оцкп = 2ⁿ + 2n + 1 (2n - опыты в звездных точках, 1 - в центре плана)

N	x0	x1	x2	x3	x1x2	x1x3	x2x3	x1x2x3	x12	x22	x32	y
1	+1	+1	+1	+1	+1	+1	+1	+1	+1	+1	+1
2	+1	+1	+1	-1	+1	-1	-1	-1	+1	+1	+1
3	+1	+1	-1	+1	-1	+1	-1	-1	+1	+1	+1
4	+1	+1	-1	-1	-1	-1	+1	+1	+1	+1	+1
5	+1	-1	+1	+1	-1	-1	+1	-1	+1	+1	+1
6	+1	-1	+1	-1	-1	+1	-1	+1	+1	+1	+1
7	+1	-1	-1	+1	+1	-1	-1	+1	+1	+1	+1
8	+1	-1	-1	-1	+1	+1	+1	-1	+1	+1	+1
9	+1	+α	0	0	0	0	0	0	α2	0	0
10	+1	-α	0	0	0	0	0	0	α2	0	0
11	+1	0	+α	0	0	0	0	0	0	α2	0
12	+1	0	-α	0	0	0	0	0	0	α2	0
13	+1	0	0	+α	0	0	0	0	0	0	α2
14	+1	0	0	-α	0	0	0	0	0	0	α2
15	+1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0

Условие ортогональности матрицы выполняется только для линейных членов соответствующего полинома 2-го порядка, представляющего собой имитационную модель вида

y = b₀ + b₁x₁ + b₂x₂ + b₃x₃ + b₁₂x₁x₂ + b₁₃x₁x₃ + b₂₃x₂x₃ + b₁₂₃x₁x₂x₃ + b₁₁x₁² + b₂₂x₂² + b₃₃x₃²

Условие ортогональности не выполняется для столбцов, соответствующих квадратичным членам полинома, так как сумма произведений значений, приведенных в каждой строке двух любых из этих столбцов матрицы не равна нулю.