Математика [РТФ, Покладова, 2 семестр] / ТП / Примеры №17

z

z

z

z

Градиент плоского скалярного поля z(x, y) :

,

i

j .

grad z

x

y

x

y

Градиент поля u(x, y, z) :

grad u

u

,

u

,

u

.

x

y

z

Производная функции z f (x, y)

в направлении вектора a :

z

grad z, a0

z cos

z cos ,

где

a0

а

cos ,cos .

а

a

x

y

Пример 1.

1

1

и вектор a 5,12 .

Даны: функция z(x, y) arcsin

x

2

y

2

, точка A

,

2

2

Найти: 1)

grad z в точке А;

2) производную в точке А по направлению вектора a .

Решение.

Найдем grad z в точке А , для этого вычислим z

и

z

в точке А.

x

y

Имеем:

z

1

x

1,

z

1

y

1.

x

y

x2 y 2

x2

y 2

1 x2 y 2

x2

y

2

1

A

A

Таким образом,

grad z( A) i j 1, 1 .

Для нахождения производной

функции

z f (x, y)

в

направлении

вектора

a 5,12 найдем

a

5,12

5

12

единичный вектор a0

,

, тогда

a

25 144

13

13

z

( A) grad z( A), a0

5

12

7

.

1

1

a

13

13 13

u x, y, z

v x, y, z

xy 2

Найти угол между градиентами скалярных полей

2x yz z3 ,

в точке

z 4

М(0,2,1).

u x, y, z

Решение.

Найдем

градиент

скалярного

поля

в

точке

М:

u

u

u

grad u

,

2, z,3z 2 y ,

grad u M 2, 1,1 .

,

x

y

z

Аналогично, grad v

v

, v

,

v

y 2

,

2xy

,

4xy 2

,

grad v M 4,0,0 .

4

4

5

x

y

z

z

z

z

Пусть – угол между векторами grad u (М) и grad v (М),

grad u(M )

,

grad v(M )

– длины этих

векторов. Тогда

grad u(M ), grad v(M )

cos

2 4 1 0 1 0

2

, следовательно, arccos

2

4 .

grad u(M )

grad v(M )

2 1 2 12

4

2

2

2