Математика [РТФ, Покладова, 2 семестр] / ТП / Практика №17
.pdf
Практика №17.
Скалярное поле. Градиент и производная по направлению
Необходимые формулы
|
|
z |
|
z |
|
z |
|
|
Градиент плоского скалярного поля z(x, y) : |
, |
i |
||||||
grad z |
|
|
|
|||||
|
|
x |
|
y |
|
x |
|
Градиент поля u(x, y, z) : |
|
u |
, |
u |
, |
u |
grad u |
|
|
. |
|||
|
|
x |
|
y |
|
z |
Производная функции z f (x, y) в направлении вектора a :
yz j .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
grad z, a0 |
z cos z cos , |
где a0 |
|
|
а |
|
|
cos ,cos . |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
x |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
№1. Найти градиент и производную скалярного поля |
u sin x3 y xy2 в точке A(2,4) по |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
направлению вектора |
|
|
1,3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
№2. Найти производную скалярного поля |
u ln x2 |
y2 xyz |
|
|
в точке М(1,-1,2) по |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
направлению вектора |
I |
|
i |
j |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
№3. Найти угол между градиентами скалярных полей |
|
x |
|
|
|
2 |
|
2 |
|
2 в точке |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
U yz2 , V x |
|
y |
|
3z |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
М |
|
|
|
, |
|
|
|
, |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Векторное поле. Поток векторного поля Необходимые формулы
Поток П (или К) векторного поля a Pi Qj Rk через поверхность S вычисляется с помощью поверхностного интеграла 2-го рода:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
№1. Найдите поток векторного |
поля |
a xi |
yj 6zk |
через |
часть |
плоскости |
|||||||||||||
P : x 2 y |
z |
1, расположенного в первом октанте. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
№2. Найти поток верхнего поля |
a xi |
yj 6zk sin z k |
через |
часть |
поверхности |
||||||||||||||
S : x2 y2 1, вырезаемую плоскостями z=0, z=5.
|
a |
1 |
|
|
|
|
№3. Найти поток векторного поля |
k |
через внешнюю сторону сферы |
||||
|
||||||
|
|
z |
|
|||
S : x2 y2 z2 R2 . |
|
|
|
|
|
|
Д.з.:
1) Найти производную скалярного поля u (x, y, z) в точке М по направлению вектора s. u sin( x 2 y) 
xyz , s 4i 3 j, M ( / 2, 3 / 2, 3) .
2) Найти угол между градиентами скалярных полей u(x,y,z) и v(x,y,z) в точке М.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 6 |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
u x 2 yz 3 , v |
|
|
|
3 |
, M |
2, |
1 |
, |
|
3 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
x |
9 y |
|
|
z |
|
3 |
|
|
2 |
|
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
3) Найти поток векторного поля a через часть плоскости P , расположенную в первом октанте
(нормаль образует острый угол с осью Oz ). a x i 2 y j zk
P : x 2 y 3z 1.