материалы за 2021г / лекции презентации / Лекция 07. Обработка результатов статических измерений
.pdf
ИНСТИТУТ МИКРОПРИБОРОВ И СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ Лекция 7
Линейные косвенные измерения
= |
|
Где - постоянный коэффициент для i-го аргумента |
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[ ] = [ ]
=1
Оценка погрешности:
∆ = − = +
= + ∆
=1
|
|
|
ҧ |
|
|
2 |
[ |
] |
= |
= |
|
[ ] = |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
=1 |
|
=1 |
|
|
Где и - реализации случайной и систематической погрешности i- го аргумента соответственно
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Погрешность |
|
|
|
|
= ∆ |
= + |
|||
|
∆= − = − |
|
|||||||
косв. изм. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
=1 |
|
=1 |
=1 |
|
11
ИНСТИТУТ МИКРОПРИБОРОВ И СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ |
Лекция 7 |
Случайные погрешности косвенного измерения
Будем считать, что реализации систематических погрешностей неизменны, т.е. = const:
|
|
|
|
|
|
|
[∆] = |
∆ |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
СП аргументов коррелированы: |
|
σ |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
− |
|
|||
|
|
|
|
|
|
= |
=1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
≠ 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∆ |
= |
= 2 |
|
+ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
=1 |
|
|
≠ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
2 |
2 |
+ 2 |
|
|
≡ ҧ≡ |
ҧ |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
≠ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
СП аргументов не коррелированы:
= 0
∆ = = 2
=1
= 2 2
=1
12
ИНСТИТУТ МИКРОПРИБОРОВ И СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ |
Лекция 7 |
Случайные погрешности косвенного измерения
Если количество измерений для каждого аргумента больше 30, то:
|
|
= 1+ |
|
|
2 |
В противном случае:
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
4 |
|
4 |
|
1 |
||||
|
|
σ |
|
|
|
|
|
|
− 2 |
σ |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 1 |
||
− 1 = эф = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
σ |
4 |
|
4 |
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
13
ИНСТИТУТ МИКРОПРИБОРОВ И СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ
НСП косвенного измерения с равномерным р.
|
|
|
P |
k |
max |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Θ( ) = |
2 |
2 |
0,9 |
0,95 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
=1 |
|
0,95 |
1,1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Лекция 7
Для вероятности P=99% |
|
||
m 4 |
m = 4 |
m = 3 |
m = 2 |
k 1,45 |
k 1,4 |
k 1,3 |
k 1,2 |
m=3
m=4
|
2 |
Θ2 , если |
|
2 |
Θ2 |
< 2 |
Θ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
=1 |
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Θ = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m=2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2Θ , если |
|
2 |
Θ2 ≥ 2Θ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
=1 |
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для небольшого количества НСП – до 4 |
|
Θ |
≤ Θ |
|
≤ Θ |
|
≤ Θ |
|
= |
|
Θ |
|
|
||||||||
|
2 |
3 |
4 |
+1 |
|
+1 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
Θ |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ИНСТИТУТ МИКРОПРИБОРОВ И СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ |
Лекция 7 |
НСП косвенного измерения
Если можно считать, что все НСП имеют нормальное распределение:
Θ( ) = 2 |
2 |
|
|
=1 |
|
Если можно считать, что все НСП имеют равномерное распределение, но с разными P:
|
|
Θ2 |
|
|
|
|
|||
Θ( ) = |
2 |
|
|
|
2 |
||||
|
|
|||
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
||
В противном случае надо приводить все к форме одного распределения, но мы не будем рассматривать этот случай.
Значение |
Θ |
Суммарная D(Р) |
|
|
|
Θ < 0,8 |
|
( ) |
|
|
|
0,8 < Θ ≤ 8 |
D( ) = [Θ( ) + ( )] |
|
Θ > 8 |
|
Θ( ) |
P |
0,8 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
8 |
0,95 |
0,76 |
0,74 |
0,71 |
0,73 |
0,76 |
0,78 |
0,79 |
0,80 |
|
0,81 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,99 |
0,84 |
0,82 |
0,80 |
0,81 |
0,82 |
0,83 |
0,83 |
0,84 |
|
0,85 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15 |
|
ИНСТИТУТ МИКРОПРИБОРОВ И СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ |
Лекция 7 |
Обработка косвенных измерений
Задача 1. Определить общее сопротивление и погрешность последовательного соединения резисторов: Σ = 2 1+4 2 + 6 3
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
Н, Ом |
100 |
10 |
1 |
Θ , Ом |
0,03 |
0,02 |
0,01 |
Решение:
Σ = 200 + 40 + 6 = 246 Ом
Θ 0,95 = 1,1 2 |
2 |
= 1,1 22 ∙ 0,03 2 + 42 ∙ 0,03 2 + 62 ∙ 0,01 2 |
|
|
|
=1 |
|
|
16
ИНСТИТУТ МИКРОПРИБОРОВ И СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ |
Лекция 7 |
Нелинейные косвенные измерения
= |
[ ] = [ ] ≠ ( 1 , 2 , … , ) |
|
|
=1 |
|
|
|
|
= 1, 2, 3, … ,
Пример линеаризации для функции от 2-х аргументов:
1 + ∆1, 2 + ∆2 = |
1, 2 + |
|
|
|
∆1 |
+ |
|
∆2 |
+ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1 |
|
2 |
2 |
2 |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2 |
= |
|
|
|
|
∆1 + |
|
∆2 |
+ 2 |
|
|
|
|
∆1∆2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2 |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
||||||||
|
|
= 1, 2 |
, 3, … , + |
|
|
∆ + |
= |
|
|
|
|
|
∆ ∆ |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
= 1, 2 |
, 3, … , |
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
17 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ИНСТИТУТ МИКРОПРИБОРОВ И СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ |
Лекция 7 |
Случайные погрешности косвенного измерения
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||
[∆] ≈ |
∆ |
|
≈ |
|
|
< 0,8 |
|
||||||
|
|
|
|
|
||
|
=1 |
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
СП аргументов коррелированы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σ |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
− |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
≠ 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
∆ |
= = |
|
|
+ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
≠ |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
2 + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
=1 |
|
|
|
|
|
≠ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
СП аргументов не коррелированы:
= 0
∆ = = 2
|
|
=1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
= |
|
2 |
||
|
=1 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
≡ ҧ≡ ҧ |
|
|
18 |
|
ИНСТИТУТ МИКРОПРИБОРОВ И СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ |
Лекция 7 |
Случайные погрешности косвенного измерения
Если количество измерений для каждого аргумента больше 30, то:
|
= 1+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В противном случае: |
2 |
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
4 |
|
4 |
|
1 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
σ |
|
|
|
|
|
|
− 2 |
σ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 1 |
|
|
|||
− 1 = = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
−1, |
|
эф |
|
|
σ |
4 |
|
|
4 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 1 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
НСП косвенного измерения
|
|
2 |
|
|
2 |
Θ2 |
|
|
|
|
2 |
|
||
Θ( ) = |
2 |
Θ( ) = |
|
|
|
2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Θ( ) = |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
=1 |
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
19
ИНСТИТУТ МИКРОПРИБОРОВ И СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ |
Лекция 7 |
Обработка косвенных измерений
Оценить сопротивление в цепи, если были проведены многократные измерения напряжения на этом участке и тока, проходящего через него (результаты в таблице). Вольтметр класса точности γ=0,5%, предел измерения 30 В; амперметр класса точности γ=1,0%, предел измерения 1 А. Измерения напряжения и тока не коррелированы между собой, остаточным членом Тейлора можно пренебречь. Случайные погрешности распределены нормально. Коэффициент Стьюдента взять равным 2.
Параметры |
|
|
|
Номер измерения |
|
|
|
|
|
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1 |
|
|
2 |
3 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
U, В |
|
18,0 |
|
|
20,5 |
19,8 |
|
21,2 |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ҧ |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I, мА |
|
530 |
|
|
610 |
590 |
|
630 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ҧ= |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
= |
|
|
|
= |
|
= |
|
|
|
2 |
Θ( ) = |
|
2 |
||||||||||
|
100% |
|
100% |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
20