753

стержень слегка отклоняется, нить закручивается, и угол закручивания нити пропорционален действующей между зарядами силе. В те времена еще не было приборов для точного определения величины заряда, но Кулон сумел определить соотношение зарядов. Заряженный проводящий шарик приводился в соприкосновение с точно таким же незаряженным шариком. При этом имевшийся на первом шарике заряд распределялся поровну между двумя шариками. Это дало возможность получать заряды, составлявшие 1/2, 1/4 и т.д. от первоначального. Кулон показал, что

сила, с которой одно малое заряженное тело действует на другое малое заряженное тело, прямо пропорциональна произведению электрических зарядов каждого из них и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. Под ма-

лыми заряженными телами подразумевают точечные заряды, то есть такие заряженные тела, размерами которых по сравнению с расстоянием между ними можно пренебречь. Одноименные заряды отталкиваются, разноименные – притягиваются, и сила направлена вдоль прямой, соединяющей эти заряды (рис.1.6):

Рис. 1.6. Направления сил взаимодействия зарядов

Заметим, что в соответствии с третьим законом Ньютона сила, с которой один заряд действует на другой, равна по величине и противоположна по направлению силе, с которой второй заряд действует на первый.

В современной записи закон Кулона выглядит следующим образом:

Справедливость закона подтверждена тщательными экспериментами, гораздо более точными, чем первоначальные трудно воспроизводимые опыты Кулона. Показатель степени 2 (r2) установлен в настоящее время с точностью 10-16, то есть он равен 2±2 10-16. Коэффициент k в формуле (1.1) зависит от выбора системы единиц. Можно подобрать такую единицу измерения электрического заряда, чтобы k равнялся единице. Такая единица заряда называется абсолютной электростатической единицей заряда и обозначается 1 СГСЭq. Теперь, однако, заряд чаще всего вы-

11

ражают в системе СИ, где его единицей является кулон (Кл). Она выражается через основную единицу СИ - ампер (А): 1 Кл = 1А с.

В системе СИ k имеет величину:

k = 8,988 109 Н м2/Кл2 ≈ 9,0 109 Н м2/Кл2.

Абсолютная электростатическая единица заряда и кулон связаны соотношением: 1 Кл = 3 109 СГСЭq

Для упрощения многих других формул электричества коэф-

Кл2/Н м2 – электрическая постоянная (или абсолютная диэлектрическая проницаемость).

Важно понимать, что формула (1.1) определяет силу, действующую на данный заряд со стороны единственного заряда. Если система включает несколько (или много) заряженных тел, то результирующая сила, действующая на данный заряд, будет равнодействующей (векторной суммой) сил, действующих со стороны остальныхзарядов.

Вопросы

1.Каким образом Кулону в своих опытах удалось оценивать величину взаимодействующих зарядов?

2.С помощью какого устройства Кулон измерял силу взаимодействия зарядов? Опишите принцип действия этого устройства.

3.Математическая запись закона Кулона очень напоминает закон всемирного тяготения Ньютона. В чем различие этих законов? Сравните гравитационную массу и электрический заряд.

4.С какой целью коэффициент в формуле (1.1) записывают в более сложном виде?

5.Обычно мы не замечаем электрического или гравитационного взаимодействия между телами. Приведите примеры, когда такие взаимодействия наблюдаются. Объясните, в чем причина в каждом из этих случаев.

1.4. Электрическое поле. Напряженность электрического поля

Электрические заряды не действуют друг на друга непосредственно. Каждый из них создает в окружающем пространстве электрическое поле. Электрическое поле - вид материи, посредством которой осуществляется взаимодействие электрических за-

12

рядов. Если электрические заряды неподвижны, то поле является электростатическим. Поле, создаваемое одним или несколькими зарядами, можно исследовать с помощью небольшого положительного пробного заряда, измеряя действующую на него силу. Под пробным зарядом понимается достаточно малый по величине точечный заряд, собственное поле которого не меняет существенно распределения остальных зарядов, создающих исследуемое поле.

Напряженность поля - физическая величина, равная отношению силы, с которой поле действует на точечный положительный пробный заряд, помещенный в данную точку поля, к величине этого заряда:

Единица измерения напряженности в СИ - Н/Кл или В/м (вольт на метр).

Напряженность электрического поля Е определяется через отношение F/q, чтобы исключить зависимость поля от величины пробного заряда q. Иначе говоря, поле Е учитывает только те заряды, которые создают рассматриваемое в данной точке электрическое поле. Поскольку Е- векторная величина, электрическое поле является векторным noлeм.

Напряженность электростатического поля точечного заряда можно определить, если воспользоваться законом Кулона:

определить, а q -пробный заряд. Подставив это выражение в (3.2), получим:

Для изображения поля используют линии напряженности (силовые линии), касательные к которым в каждой точке дают направление вектора напряженности. На рис.1.7 показаны силовые линии уединенных точечных зарядов. Силовые линии «выходят» из положительного заряда и «входят» в отрицательный заряд (это означает, что пробный положительный заряд будет притягиваться к отрицательному, создающему поле). Густота силовых линий больше вблизи зарядов, то есть там, где больше напряженность поля.

13

можно считать точечным, и определить напряженность поля как векторную сумму полей, создаваемых каждой частью тела.

Во многих случаях распределение заряда можно считать непрерывным. Это означает, что распределенные заряды можно представить в виде набора бесконечно малых элементов dq, каждый из которых создает на расстоянии r электрическое поле на-

пряженностью dE = 4πε1 0 dqr2 . Значение напряженности электриче-

ского поля в любой точке можно получить, просуммировав вкла-

смотрим поле кольца, по которому равномерно распределен заряд Q (рис.1.9). Напряженность поля, созданного элементом кольца dl

dEx вдоль оси х и dEу - в перпендикулярном направлении. Интегрируя по всему кольцу, заметим, что каждому элементу dl кольца соответствует диаметрально противоположный элемент равной длины такой, что перпендикулярные компоненты напряженности электрического поля этих двух элементов взаимно компенсируются. Это справедливо для всех элементов кольца, так что в итоге векторЕr направлен вдоль оси х и нам остается проинтегрировать только компоненты dEx. Тогда полная напряженность электрического поля равна

15

На больших расстояниях (х>>а) полученное выражение сводится к Е=Q/4πε0x2. Этого следовало ожидать, так как на больших расстояниях кольцоподобноточечному заряду.

Вопросы

1.Какое поле называется электростатическим?

2.Почему при определении напряженности электрического поля используется малый пробный заряд?

3.При определении напряженности электрического поля обязательно ли пользоваться положительным пробным зарядом или можно воспользоваться отрицательным зарядом? Объясните ответ.

4.Объясните, почему дляэлектрического полясправедлив принципсуперпозиции.

5.Как определить напряженность поля, создаваемого многими точечнымизарядами?

6.Как поступают при определении напряженности поля заряженных тел, размеры которых не являются малыми?

7.Каковы величина и направление поля в точке А, если по кольцу(рис. 1.9) равномернораспределенотрицательныйзарядQ?

1.5.Работа сил поля при перемещении заряда.

Потенциал и разность потенциалов

На электрический заряд, находящийся в поле, действует сила, поэтому при перемещении заряда q на расстояние dl в электрическом поле с напряженностью E совершается работа:

ремещения на направление силовой линии (рис. 1.10). Работа по

перемещению заряда в электростатическом поле не зависит от формы траектории. Действительно, при перемещении заряда q между точками 1 и 2 в поле точечного заряда Q совершается работа

16

El=Еcosα - проекция вектора напряженности на направление перемещения. Равенство нулю работы по замкнутой траектории означает равенство нулю интеграла в последнем выражении. Этот интеграл называют циркуляцией вектора E . Поскольку любое заряженное тело можно представить как совокупность точечных зарядов, циркуляция будет равной нулю в полях неподвижных зарядов любой конфигурации. Итак, в электростатическом поле циркуляция вектора напряженности равна нулю

(кружок на знаке интеграла означает, что интегрирование ведется по замкнутому пути). Силовые поля с такими свойствами называ-

ются потенциальными, или консервативными.

В разделе «Механика» показано, что работа в потенциальном поле равна изменению потенциальной энергии системы, взятой с противоположным знаком:

где W1, W2 − значения потенциальной энергии в начальной и конечной точках. Поскольку энергия заряда в поле, как и работа по перемещению заряда между двумя точками (см.(1.5)), пропорциональна заряду, то отношение энергии к величине заряда есть величина, характеризующая только поле. Эта величина называется потенциалом поля в данной точке:

q

При этом выражение (1.8) можно переписать в виде:

17

− разность потенциалов между двумя точками, которая численно равна разности потенциальных энергий заряда в этих точках, отнесенной к величине заряда. Сопоставляя с выражением для работы в поле точечного заряда (1.6), получаем, что потенциал то-

чечного заряда

обратно пропорционален первой степени расстояния до заряда. Как и потенциальная энергия, потенциал определяется с точностью до некоторой постоянной. Реальные тела имеют конечные размеры, но на очень большом расстоянии поле этих тел может рассматриваться как поле точечных зарядов. Тогда, как следует из (1.11), на бесконечно большом расстоянии от заряженного тела потенциал поля равен нулю1. Если положить в выражении (1.11) W2 и ϕ2 равными нулю, то можно сказать, что потенциал некоторой точки поля численно равен работе по перемещению единичного поло-

жительного заряда из данной точки поля на бесконечность:

ϕ = Aq∞ .

Потенциал и разность потенциалов измеряются в вольтах. 1В=1Дж/Кл.

В отличие от напряженности поля, являющейся силовой характеристикой поля, потенциал – его энергетическая характеристика. Связь межу этими величинами можно найти из выражений для работы. Для поля любой конфигурации dA = qEdr = −qdϕ , где dϕ - изменение потенциала при перемещении вдоль силовой линии на расстояние dr. Знак (-) в правой части отражает связь работы с изменением потенциальной энергии (см. (1.8)). Сокращая на q, по-

лучаем связь между напряженностью электрического поля и изменением потенциала:

1 На практике считают равным нулю потенциал проводника, соединенного с землей (см. раздел 1.8).

18

Знак (-) означает, что напряженность поля направлена в сторону убыли потенциала. Из последнего выражения видно, что напряженность электрического поля измеряют в вольтах на метр: 1В/м=1Н/Кл.

В векторном анализе градиентом некоторой скалярной величины ϕ называют вектор, направление которого совпадает с направ-

лением быстрейшего увеличения величины ϕ . По определению

grad ϕ = ddxϕ ir+ ddyϕ rj + ddzϕ kr,

где ir, rj ,kr- орты (единичные векторы, направленные вдоль осей координат). Значок grad подразумевает, что в левой части этого выражениястоитвекторная величина.

Напряженность электрического поля можно выразить следующим образом:

E = −grad ϕ .

Из (1.13) получаем dϕ = −Edr = −Edl = −El dl , где El - проекция

вектора напряженности на направление dl. Проинтегрировав данноевыражение, найдемразностьпотенциаловмеждуточками1 и2:

Пересекаясь с плоскостью чертежа, эквипотенциальные поверхности дают эквипотенциальные ли-

нии (рис. 1.11). Так как напряженность поля направлена в сторону убыли потенциала, то ϕ1 >ϕ2> ϕ3. Эквипотенциальные линии, как и

19

линии напряженности, гуще там, где напряженность поля выше (вблизи зарядов).

Вопросы

1.Зависит ли работа по перемещению заряда в электростатическом поле от формы траектории? Чему равна работа перемещения заряда по замкнутому пути?

2.Какими свойствами обладают потенциальные поля?

3.Что такое потенциал и разность потенциалов? Как можно определить работу по перемещению заряда между точками, разность потенциалов между которыми известна?

4.Как можно найти разность потенциалов двух точек через напряженность поля?

5.Как найти напряженность поля, зная зависимость потенциала от координат?

6.Две точки имеют одинаковый потенциал. Значит ли это, что при перемещении пробного заряда из одной точки в другую не совершается работа? Верно ли, что для перемещения заряда не надо прикладывать силу?

7.Куда будет двигаться первоначально покоящийся отрицательный заряд: в направлении более высокого или более низкого потенциала? А положительный заряд? Как меняется потенциальная энергия заряда в каждом случае?

8.Может ли частица перемещаться из области с более низким потенциалом в область с более высоким потенциалом так, чтобы при этом ее электростатическая потенциальная энергия уменьшалась? Объясните.

9.Если в некоторой точке пространства потенциал ϕ равен нулю, то обязательно ли в этой точке и напряженность поля Е =

0? Если в некоторой точке Е=0, то всегда ли и ϕ= 0 в этой точке? Проиллюстрируйте ответ примерами.

20