4 лаабораторна

Міністерство освіти і науки України

Львівський національний університет ветеринарної медицини та біотехнологій імені С. З. Ґжицького

ЛАБОРАТОРНА РОБОТА № 4

МОДЕЛЮВАННЯ ДИНАМІКИ ПОПУЛЯЦІЙ В ЕКОСИСТЕМАХ ТИПУ «ХИЖАК-ЖЕРТВА»

Постановка задачі

Провести моделювання динаміки популяцій у двокомпонентній  екосистемі вовки-зайці (хижак-жертва) використавши систему рекурентних  рівнянь (4.2) та такі початкові дані: 

початкова кількість зайців – 1000+n 

питома швидкість розмноження зайців – 0,3 

максимальна кількість зайців – 10000+m 

початкова кількість вовків – 10+n 

максимальна кількість вовків – 100 

питома швидкість розмноження вовків – 0,1 

коефіцієнти взаємодії γ₁= -0,01 γ₂=0,001. 

Розрахувати (таблично) ріст чисельності популяції на протязі  циклу часу t (0, 10 з інтервалом 1); 

Побудувати графіки росту чисельності популяції згідно (4.2).

Методика розв’язку задачі

При врахуванні міжвидових взаємодій необхідно розв’язувати таку  систему диференційних рівнянь: 

де γ₁ та γ₂ – коефіцієнти, що враховують взаємодію видів. 

Основні типи взаємодій такі: 

(+,-) – хижак-жертва (паразит-жертва), 

(+,+) – симбіоз (муталізм), 

(-,-) – конкуренція, 

Більш точне дослідження динаміки міжвидових взаємодій можливе при  застосуванні систем нелінійних диференційних рівнянь Вольтерра-Лотки, що  враховують засвоєння їжі хижаком, мисливську стратегію хижака, захисну  реакцію жертви, наявність схованок для жертви тощо. 

При деякій втраті точності аналізу та заміні dt на Δt, можливо замінити  систему нелінійних диференційних рівнянь системою рекурентних рівнянь. Це  дозволяє значно спростити розрахунки та зробити їх прозорими та наочними.

Наприклад, система (4.1) перетвориться у таку систему: 

У системі (4.2) використовується дискретний час і, що відповідає кроку  реального часу (середньому періоду розмноження T=min(T_n, T_m)).

Комп'ютерна модель задачі

Отже для побудови комп'ютерної моделі задачі на робочому листі Ms Excel вводимо дані у таблицю у наступному вигляді:

m	0
n	1
початкова кількість зайців	=1000+B2	N
питома швидкість розмноження зайців	0,3	r
максимальна кількість зайців	=10000+B1	K
початкова кількість вовків	=10+B2	M
максимальна кількість вовків	100	K
питома швидкість розмноження вовків	0,1	r
коефіцієнти взаємодії γ1=	-0,01
коефіцієнти взаємодії γ2=	0,001

Номер залікової книжки 2019/101

B1=0

B2=1

Розрахувую (таблично) ріст чисельності популяції на протязі  циклу часу t (0, 10 з інтервалом 1);

t	N(t)	M(t)
0	=B3	=B6
1	=B13+($B$4*B13-$B$4/$B$5*B13^2+$B$9*B13*C13)	=C13+($B$8*C13-$B$8/$B$7*C13^2+$B$10*C13*B13)
2	=B14+($B$4*B14-$B$4/$B$5*B14^2+$B$9*B14*C14)	=C14+($B$8*C14-$B$8/$B$7*C14^2+$B$10*C14*B14)
3	=B15+($B$4*B15-$B$4/$B$5*B15^2+$B$9*B15*C15)	=C15+($B$8*C15-$B$8/$B$7*C15^2+$B$10*C15*B15)
4	=B16+($B$4*B16-$B$4/$B$5*B16^2+$B$9*B16*C16)	=C16+($B$8*C16-$B$8/$B$7*C16^2+$B$10*C16*B16)
5	=B17+($B$4*B17-$B$4/$B$5*B17^2+$B$9*B17*C17)	=C17+($B$8*C17-$B$8/$B$7*C17^2+$B$10*C17*B17)
6	=B18+($B$4*B18-$B$4/$B$5*B18^2+$B$9*B18*C18)	=C18+($B$8*C18-$B$8/$B$7*C18^2+$B$10*C18*B18)
7	=B19+($B$4*B19-$B$4/$B$5*B19^2+$B$9*B19*C19)	=C19+($B$8*C19-$B$8/$B$7*C19^2+$B$10*C19*B19)
8	=B20+($B$4*B20-$B$4/$B$5*B20^2+$B$9*B20*C20)	=C20+($B$8*C20-$B$8/$B$7*C20^2+$B$10*C20*B20)
9	=B21+($B$4*B21-$B$4/$B$5*B21^2+$B$9*B21*C21)	=C21+($B$8*C21-$B$8/$B$7*C21^2+$B$10*C21*B21)
10	=B22+($B$4*B22-$B$4/$B$5*B22^2+$B$9*B22*C22)	=C22+($B$8*C22-$B$8/$B$7*C22^2+$B$10*C22*B22)

Аналіз отриманого розв'язку і висновок

Я провела моделювання динаміки популяцій у двокомпонентній  екосистемі вовки-зайці (хижак-жертва) використавши систему рекурентних  рівнянь (4.2) і розрахувала (таблично) ріст чисельності популяції на протязі  циклу часу t (0, 10 з інтервалом 1).

t	N(t)	M(t)
0	1001	11
1	1161	23
2	1202	51
3	901	116
4	104	218
5	-92	215
6	78	171
7	-32	172
8	13	154
9	-3	148
10	1	140

А також побудувала графіки росту чисельності популяції з отриманих даних.

Рис 4.1. Моделювання динаміки популяцій у двокомпонентній екосистемі  хижак-жертва

Висновок. Популяція N вимирає на шостому кроці моделювання (N – від’ємне), подальші кроки моделювання не мають реального фізичного змісту.  Змінюючи початкові значення можливо спостерігати різні варіанти динаміки  популяцій – коливання чисельності, стабілізацію чисельності на певних рівнях,  стійкий розвиток тощо.