Интегральный признак Коши

Если f (x) при x 1

непрерывная, положительная и

монотонно убывающая

функция такая, что при натуральных значениях

аргумента значения функции совпадают со значениями

членов

ряда

u1 =

f (1), u2 = f (2),

, un = f (n),

n=1un ,

т.е.

то ряд

u ,

сходится, если сходится несобственный

n=1 n

интеграл

этот интеграл

и

расходится, если

f (x) dx, расходится.

1

lnk n

e

n

sin(1/n)

n=2

, n=1

, n=1

, n=1

n2

.

n lnk n

n

n

1.

ln2 (3n 2)

.

n=1

3n

2

ln2 (3x 2) dx

=

1

2

(3x 2) d(ln(3x 2))=

3x 2

3

ln

1

1

интеграл и вместе с ним

1

ln

3

(3x

2)

| =

исходный

3

3

1

ряд расходятся.

1

2.

n=1

5

(n 2)

(n 2) ln

dx

d (ln(x 2))

1

=

=

|1 =

5

(x 2)

5

(x 2)

4 ln

4

(x 2)

1 (x

2) ln

1

ln

1

1

= const

4 ln4 3

1

3.

n=1

.

(2n 1)

3

ln

(2n 1)

dx

1

(ln(2

x 1)

1

2

=

d

=

=

2

2

3

3

ln(2x

1)

1 (2x 1)

ln

(2x 1)

1

ln (2x 1)

=

1

| =

1

1

= 0

1

const

ln(2x 1)

ln 3

ln 3

1

e

n

4.

n=1

.

n

e

x

2

2

2

2

x

dx = 2

e

d (

x) =

| =

=

x

e x

1

e

e

1

1