Признак Даламбера

u

при p < 1 ряд сходится

lim

n 1

= p,

то

при

p > 1

ряд расходится

n

un

при

p = 1

вопрос о сходимости

не решен

2n

(n 5)

2

n=1

, n=1

,

n

3

n!

7

2n 1

n!

nn

n=1

,

n=1

,

3

n

n!

(n 1)! (n 2)!

n=1

.

(n 3)!

1

1 n

1

1 n

= e

1

lim

= e,

lim

.

n

n

n

n

5n

1.

n=1

.

(2n 1)

2

un =

5n

, un 1

=

5n 1

,

(2n

1)2

(2(n 1)

1)2

u

5n 1

(2n 1)

2

limn

n 1

= limn

=

(2n 3)2

5n

un

5(2n 1)2

limn (2n 3)2 = 5 > 1

-- ряд расходится

Здесь учтено, что

(2n 1)2

limn (2n 3)2 = 1.

2n 1

2. n=1

.

n

3

7

n

un =

2n 1

, un 1 =

2(n 1) 1

=

2n 1

,

n3 7n

(n 1)3 7n 1

(n 1)3 7n 1

u

n 1

= limn

(2n 1)

n3 7n

=

limn

(n 1)3

7n 1

un

(2n 1)

= limn

(2n 1)

n3

7n

= limn

1

< 1

(2n 1)

7n 1

7

(n 1)3

--

ряд

сходится.

Здесь учтено, что при

n

n3

1,

2n 1

1.

(n 1)3

2n 1

nn

3.

n=1

n!

.

un =

nn

,

un 1 =

(n 1)n 1

n!

(n 1)!

limn

u

n 1

= limn

(n 1)n 1

n!

= limn

(n 1)n (n 1) n!

=

(n 1)!

n!(n 1) nn

un

nn

n 1

n

1

1

n

= limn

n

= limn

n

= e 2,718... > 1

2n n!

4. n=1

n

n

2n 1 (n 1)!

nn

limn

u

n 1

= limn

=

(n 1)n 1

un

2n n!

limn

2 n!(n 1) nn

=

(n 1)n (n 1) n!

2 nn

n

n

=

=

2

=

(n

1)n

lim

n

lim

n

n 1

2

=

2

=2

< 1.

n

1

n

limn n 1

limn

e

n

1

n -- ряд сходится

3n 2

5.

n=1

.

n!

=

,

un =

3n 2

, un 1 =

3(n 1) 2

3n 5

n!

(n 1)!

(n 1)!

limn un 1

n!

n!

= limn

3n 5

= limn

3n 5

=

(n 1)!

3n 2

n!(n 1) 3n 2

un

1

1

= limn

3n 5

= limn

= 0 < 1

-- ряд сходится

n 1

3n 2

(n 1)

Здесь учтено, что при n

3n 5

1,

1

0.

n 1

3n 2

= q, то

при p < 1 ряд сходится

lim n

un

при

p > 1 ряд расходится

n

при

p = 1 вопрос о сходимости

не решен

Радикальный признак Коши применяется для

ешения

вопроса о сходимости рядов типа

n2

2n 1

n

1

1

n 1

, arcsinn/2

,

,

,

2n 9

n=1 3n 5

n=1

n=2 ln3n n

n=1 n

1.

3n 2

n

n=1

5n 4

.

3n 2 n

3n 2

3

limn

n u

=

n

=

=

< 1

4

5

n

limn

5n 4

limn 5n

-- ряд сходится

3n

n2

2.

n=1

.

8n 1

3n

n2

3n

n

limn

n u

=

n

=

=

8n 1

8n

1

n

limn

limn

3

n

= 0 < 1 -- ряд сходится

= limn

8

7n

2

5n 1

3n 2

3.

n=1

4n

2

2

.

3 2/n

limn n

7n2

5n 1

3n 2

7n2 5n 1

7

3

> 1

2

=limn

2

=

4n

2

4n

2

4

ряд

расходится.

2n

1

1

2n

1

n

4. n=1tg

~ n=1

=

n=1

.

6n 5

6n

5

6n

5

1

n

1

n u

=

n

=

= 0 < 1

limn

n

limn

6n 5

limn 6n 5

ряд сходится.

1

n

n2

5.

n=1

.

5

n

n 1

limn n

1

n

n2

1

n

n

1 n 1

n

= limn

5

= limn

5

n

=

5n n 1

n 1

=

1

1

1 n

e

< 1

5 lim

n

=

5

-- ряд сходится.

n