Числовые ряды. Признаки сходимости.

равен

lim un = 0.

n

Если

необходимый

признак

сходимости

не

выполняется, т.е.

lim un 0,

n

Необходимый признак следует понимать

так:

lim un = 0, то ряд может сходиться,

Если

n

но

может

и

расходиться.

Если

lim un

0,

ряд

точно

расходится.

n

2n 1

2

2n 1

1 3 5

limn

=

0.

n=1 3n 1

3n 1

3

4

7

10

=

....

1

1

1

1

....расходится, хотяlimn

1

n=1

=

= 0.

4

7

3n 1

3n 1

10

В дальнейшем, если предел общего члена ряда

окажется равным нулю, то будем говорить, что ряд

может сходится, и продолжать исследование на

сходимость с помощью достаточных признаков

5n

5

10

15

lim

5n

= 0

3

n=1

=

27

86 ....

n

3n

2n 1

3n3

2n 1

4

ряд может сходится

сравнения 1

Пусть даны два знакоположительных

ряда

n=1un = u1 u2

u3 ... un ...

(1)

n=1vn = v1 v2

v3 ... vn ...,

(2)

причем, начиная с некоторого

n = N, выполняется условие

номера

un vn

Тогда(1),из сходимости ряда (2) всегда следует сходимость и ряда

(2).

из расходимости ряда (1) следует и расходимость ряда

Признак

сравнения

2

(предельный)

Если существует конечный, отличный от нуля предел

отношения

u

limn

n

= A 0,

v

Если

| q |< 1 ряд сходится

qn :

Если

| q | 1 ряд расходится

n=1

1

Если

k > 1,

то ряд

n=1

:

k 1,

сходится

nk

Если

то ряд

3. Гармонический ряд

расходится

1

1

1

1

n=1 n

= 1 2

3 n ряд расходится

1

1

1

1

1

1

1

,

,

,

,

,

,

3n

2

n

2

2

2n

3

1

n

5

n

3/ 2

7 / 2

n

7

n=1

n=1

n=1

n=1

n=1

n=1

n=1

n

| q |< 1:

3 n

1 n

2 n

7

,

,

5

,

n=1

n=1

2

n=1

1

1

,

1

1

,

1

1

,

1/ 2

1/ 3

3/ 5

n

n

3

n

n

5

2n

3

5

2 n

n=1

n=1

n=1

n=1

n=1

n=1

4

n

n

n

n

| q | 1:

,

2 ,

1 ,

3

( 1) ,

n=1

n=1

n=1

n=1

sin (x) ~ (x),

arcsin (x) ~ (x),

tg (x) ~ (x),

arctg (x) ~ (x),

1

cos (x) ~

2 (x)

,

e ( x) 1 ~ (x),

2

n

1 ~

(x)

.

ln(1 (x)) ~ (x),

1

(x)

n

1

1

1

1

1

6. n=1

sin

~ n=1

= n=1

3/2

3n 4

2

n

3n 2 n

6n

ряд сходится как обобщенный гармонический ряд с

показателем

k = 3/2 > 1

1

1

при

n

Здесь использовано то, что

sin

~

2

2

n

n

1

1

1

7.

n=1n arctg

~ n=1n

4

= n=1

n

4

n

3

n

1

1

при n

arctg

n4

~

n4

1

1

1

8. n=1

cos

~ n=1

ряд расходится

3n 4

2

3n

n

В данном случае использовано то обстоятельство, что

cos

1

1

при

n

2

n

1

1

9.

n=1

1

cos

~

n=1

ряд сходится

n

2

2n

4

1

cos

1

~

(1/n2 )2

=

1

.

n2

2

2n4

10.

2

~

2

= 2

1

ln 1

n=1

n=1

n=1 n1/2

ряд расходится

n

n

как обобщенный гармонический с

k =1/2 <1.

показателем

2

2

Здесь использовано

при n

ln

1

~

n

n

1

n

11.

n=1 sin

~ n=1

=

n=1

2

n

2

n

2

ряд сходится как геометрический сознаменателем q 1/ 2 1

12.

3n

e

2n

53n

53 n

n=15

~ n=1

2n = n=1

2

e

e

125

ряд расходится как геометрический со

q = e2

> 1.

знаменателем