Добавил:

Alister_stud Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Амурский государственный университет

Предмет:

Высшая математика

Файл:

Дифур

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

28.06.2022

Размер:

767.47 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

5. Системы линейных дифференциальных уравнений.

Нормальные системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка

К нормальным системам относятся системы следующего вида

d y1 (x)

= a

y (x)+ a

y (x)+... + a

y (x)

d x

(x)

d y

= a21 y1

(x)+ a22 y2

(x)+... + a2n yn (x)

d x

...

d yn (x)

= a

(x)+ a

n 2

(x)+... + a

(x)

d x

n1 1

Пусть коэффициенты уравнений постоянны. Для нахождения решения такой системы решим следующее характеристическое уравнение

a11 −λ	a12	...	a1n

a21	a22 −λ	...	a2n	= 0 .
...	...	...	...

an1	an2	...	ann −λ

Каждому корню λi характеристического уравнения соответствует система частных решений

y1(x)=A1exp(λi x), y2(x)=A2exp(λi x), …, yn(x)=Anexp(λi x).

Коэффициенты Ai определяются из следующей системы линейных однородных алгебраических уравнений

(a11 −λ)A1 + a12 A2 +... + a1n An

= 0

+(a

−λ)A

+...

+ a

= 0

...

+ a

+... +(a

−λ)A

= 0

Из этой системы могут быть определены только отношения Ai. Поэтому полученная данным способом система частных решений для каждого λi будет содержать единственную произвольную постоянную. Если все корни характеристического уравнения различны, то сумма всех частных решений будет содержать n независимых произвольных постоянных. Такая сумма частных решений даёт общее решение исходной системы дифференциальных уравнений. Если хотя бы один корень λi характеристического уравнения имеет кратность q, то этому корню будет соответствовать система частных решений вида

y1(x)=A1(x) exp(λi x), y2(x)=A2(x) exp(λi x), …, yn(x)=An(x) exp(λi x),

где Ai(x) – многочлены степени не выше q-1. После подстановки этих выражения с неопределёнными коэффициентами в данную систему и приравнивания (после сокращения экспоненциального множителя) коэффициенты при одинаковых степенях x в правых и левых частях равенств получаются уравнения, позволяющие определить все неизвестные коэффициенты.

Пример 28 Найдём решение системы уравнений

d y1(x)= 2 y (x)+ 2 y

(x)− y

(x)

d x

= −2 y1(x)+

4 y2 (x)+ y3 (x)

d y2 (x)

d x

d y3 (x)

= −3 y (x)+

8 y

(x)+

2 y

(x)

d x

Характеристическое уравнение данной системы имеет следующий вид

2 −λ	2	−1	= −(λ −6)(λ −1)2 = 0 .

−2 4 −λ 1
−3	8	2 −λ

Для простого корня λ=6 получается следующая система уравнений для коэффициентов Ai, i [1,3]

−4A1 + 2A2 − A3 = 0

−2A1 −2A2 + A3 = 0

−3A1 +8A2 −4A3 = 0

Корни этой системы равны следующим величинам: A1=0, A2=A3/2=C1. Тогда: y1(x)=0, y2(x)=C1e6x, y3(x)=2C1e6x. Для кратного корня λ=1 искомые решения сис-

темы с учётом неопределённых коэффициентов определяются соотношениями y1(x)=(P1x+Q1)ex, y2(x)=(P2x+Q2)ex, y3(x)=(P3x+Q3)ex.

После подстановки предполагаемой формы решения в исходную систему уравнений, сокращения на ex и приведения подобных получаем систему уравнений для коэффициентов Pi и Qi

P1 +(P1x +Q1 )= (2P1 + 2P2 − P3 )x +(2Q1 + 2Q2 −Q3 )

P2 +(P2 x +Q2 )= (−2P1 + 4P2 + P3 )x +(−2Q1 + 4Q2 +Q3 )P3 +(P3x +Q3 )= (−3P1 +8P2 + 2P3 )x +(−3Q1 +8Q2 + 2Q3 )

Приравнивание друг другу коэффициентов при различных степенях x преобразует полученную систему в следующие две

P1P2P3

=2P1 + 2P2 − P3

=−2P1 + 4P2 + P3

=−3P1 +8P2 + 2P3

P1 +Q1 = 2Q1 + 2Q2 −Q3

;P2 +Q2 = −2Q1 + 4Q2 +Q3P3 +Q3 = −3Q1 +8Q2 + 2Q3

Решение этих систем позволяет получить

P1=5C2, P2=C2, P3=7C2; Q1=5C3-6C2, Q2=C2, Q3=7C3-11C2.

В таком случае общее решение уравнения имеет вид

y1(x)=(5С2x+5С3-6С2)ex, y2(x)=C1e6x+(С2x+С3)ex, y3(x)=2C1e6x+(7С2x+7С3-11С2)ex.

Системы однородных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка

Рассматриваемые системы уравнений имеют вид

d y1(x)+ a

d y2 (x)+... + a

d yn (x)

y (x)+b y

(x)+... +b

(x)= 0

d x

(x)

d y1(x)+ a

d y2 (x)+... + a

d yn

(x)+b

(x)+... +b

(x)= 0

d x

21 1

...

d y1(x)+ a

d y2 (x)+... + a

d yn (x)

y (x)+b

(x)+... +b

(x)= 0

d x

n1 1

Данная система может быть также записана в более компактной форме

∑ a

d yk (x)+ ∑b y (x)= 0 , i [1,n].

k =1 ik

k =1 ik k

d x

Если определитель матрицы, состоящей из коэффициентов aik, не равен нулю, то данная система может быть приведена к нормальному виду. Однако решение рассматриваемой системы может быть получено без её преобразования. Характеристическое уравнение данной системы имеет следующий вид: |aikλ+bik|=0. Коэффициенты Ai, соответствующие простому корню λi, определяется из уравнений

∑n (aik λi +bik )Ak = 0 , i [1,n]. k =1

В остальном методика нахождения решения данной системы та же, что и в случае нормальной системы. Системы дифференциальных уравнений, у которых определитель матрицы, состоящей из коэффициентов aik, равен нулю, необходимо дополнительно исследовать.

Пример 29 Найдём решение системы уравнений

	5 d y1 (x)−2 d y2 (x)+ 4 y (x)− y					2	(x)= 0
		d x		d x	1	2
		d x		d x
	d y (x)		+8y1 (x)−3 y2 (x)= 0
		1	+8y1 (x)−3 y2 (x)= 0
		d x
		d x
Характеристическое уравнение данной системы имеет следующий вид
	5λ + 4	−2λ −1		= 2λ2 + 2λ −4 = 0 λ = −2, λ =1.
	5λ + 4	−2λ −1		= 2λ2 + 2λ −4 = 0 λ = −2, λ =1.
	λ +8	−	3				1	2
	λ +8	−	3
Найдём коэффициенты A1 и A2 для λ1=-2. В данном случае
				−6A1 +3A2 = 0
					= 0
				6A1 −3A2	= 0

Решением данной системы являются следующие значения коэффициентов Ai:
	~		~	для λ2=1. Соответствующая
A2=2A1=2C1. Далее найдём коэффициенты A1			и A2	для λ2=1. Соответствующая
система уравнений имеет вид
~	~	= 0
9A1	−3A2	= 0
	~
~	~	= 0
9A1	−3A2	= 0

Решением данной системы являются следующие значения искомых коэффици-

= 3C2 . Таким образом, общее решение имеет вид

ентов A2

= 3A1

y1(x)=C1e-2x+C2ex, y2(x)=2C1e-2x+3C2ex.

Системы неоднородных обыкновенных дифференциальных уравнений

первого порядка

Общий вид таких систем

d yn (x)

d y1(x)+ a

d y2 (x)+...

+ a

y (x)+... +b

(x)= d (x)

d x

11 1

(x)

d y1(x)+ a

d y2 (x)+... + a

d yn

y (x)+

... +b

(x)= d

(x)

d x

21 1

...

d y1(x)+ a

d y2 (x)+... + a

d yn (x)

y (x)+

... +b

(x)= d

(x)

d x

n1 1

Данная система может быть представлена в следующей, более компактной,

форме	d yk (x)	+ ∑b y	(x)= d (x), i [1,n].
∑ a
n		n
k =1 ik		k =1 ik k	i
	d x

Рассмотрим решение данной системы с помощью метода вариации произвольной постоянной. Общее решение однородной системы подставляется в неоднородную. При этом постоянные интегрирования Ci считаются функциями независимой переменной x, т.е. Ci=Ci(x). При этом в выражениях для производных искомых функций появятся члены, содержащие производные от искомых функций, а также члены, содержащие производные от Ci(x)

(x)

d y1 (x)

d y2

d yn (x)

a11C1 (x)

+a12C2 (x)

+... +a1nCn (x)

+a11 y1 (x)×

d x

d C1 (x)

d C2 (x)

d Cn (x)

(x)+

d x

+a12 y2 (x)

d x

+... +a1n yn (x)

d x

+b11 y1 (x)+b12 y2

(x)

+... +b1n yn (x)= d1

(x)

a21C1 (x)

d y1

+ a22C2 (x)

d y2

+... + a2nCn (x)

d yn (x)

(x)×

+ a21 y1

d x

d C1 (x)

d C2 (x)

d Cn (x)

(x)

(x)+

d x

+ a22 y2 (x)

d x

+... + a2n yn (x)

d x

+b21 y1

+b22 y2

(x)

+... +b2n yn (x)= d2

… … …

(x)

d y1

d y2

d yn (x)

an1C1 (x)

+ an2C2 (x)

+... + annCn (x)

+ an1 y1 (x)×

d x

d C1 (x)

d C2 (x)

d Cn (x)

(x)

(x)+

d x

+ an2 y2 (x)

d x

+... + ann yn (x)

d x

+bn1 y1

+bn2 y2

... +bnn yn (x)= dn (x).

Первые члены компенсируются более поздними слагаемыми уравнений рас-

сматриваемой системы (т.к. являются решениями однородной системы), т.е.

d C1(x)

d C2 (x)

d Cn (x)

a11 y1(x)

+ a12 y2 (x)

+... + a1n yn

(x)

= d1

(x)

d x

d C1(x)

d C2

(x)

d Cn

(x)

a21 y1

(x)

+ a22 y2

(x)

... + a2n yn (x)

= d

2 (x)

d x

...

... ...

d C1(x)

(x)

d C2

d Cn

an1 y1

(x)

+ an2 y2

(x)

... + ann yn (x)

= dn (x)

d x

Далее из этой системы находятся функции Ci(x). Пример 30 Найдём решение системы уравнений

5 d y1 (x)−2 d y2 (x)+ 4 y (x)− y					2	(x)= e−x
	d x	d x	1		2
	d x	d x
d y (x)		+8y1 (x)−	3 y2 (x)= 5e	−x
	1	+8y1 (x)−	3 y2 (x)= 5e
	d x
	d x

Решение соответствующей однородной системы, найденное в предыдущем при-

мере, имеет следующий вид

y1(x)=C1e-2x+C2ex, y2(x)=2C1e-2x+3C2ex.

Далее постоянные Ci будем считать функциями независимой переменной x, т.е. Ci=Ci(x). Тогда

5e−2x d C1(x)−10C (x)e−2x

+5ex d C2 (x)

+5C

(x)ex −4 d C2 (x)e−2x +

d x

d C2 (x)

−2x

−6

−6C2 (x)e

+ 4C1(x)e

−2x

+ 4C2 (x)e

−2C1(x)×

+8C1(x)e

d x

(x)ex

×e−2x

−3C

= e−x

− 2 x

d C2 (x)

d C1(x)

−2x

−2x d C1(x)

−2C1

(x)e

+C2 (x)e

−6

d x

(x)e

−2x

d C 2 ( x )

−9C2 (x)e

8C1(x)e

−2x

(x)e

−x

+8C2

+12C1

−9

d x

Приведение подобных и сокращение экспоненты позволяет получить следующую систему уравнений

d C (x)

−2 x

−

d C

(x)

= e

−x

d x

d C

(x)

−2 x

d C

(x)

= −5e

−x

d x

которая приведением подобных может быть преобразована к более простой форме

d C1 (x)=

e−2 x ,

d C2 (x)

= −

10 e−2 x .

d x

Решение такой системы имеет вид

−2 x

C1 (x)=C1 −

, C2 (x)=C2

Общее решение исходной системы неоднородных уравнений представимо в следующей форме

y (x)=

−

e−2x e−2x + C

e−2x ex ;

(x)= 2

−

e−2x e−2x +3

e−2x ex .

Системы однородных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка

Данные системы уравнений имеют вид

2 y (x)

d 2 y

(x)

d 2 y

(x)

d y (x)

d y

(x)

+ a

+...

+ a

+... +

d x2

d x

d yn (x)

y (x)+c

(x)+

... +c

(x)= 0

d x

11 1

d 2 y (x)

d 2 y

(x)

d 2 y

(x)

d y

(x)

d y

(x)

+ a

+...

+ a

+... +

d x2

d x

d y

(x)

+c21 y1(x)+c22 y2 (x)+... +c2n yn (x)= 0

+b2n

d x

...

d 2 y (x)

d 2 y

(x)

d 2 y

(x)

d y (x)

d y

(x)

+ a

+...

+ a

+... +

d x

(x)

d yn

y (x)+c

(x)+... +c

(x)= 0

d x

n1 1

Рассматриваемая система также может быть представлена в более компактной форме

(x)

d yk (x)

(x)= 0

∑ a

+ ∑ b

+ ∑c

, i [1,n].

d x

k 1

Такие системы решаются аналогично системам дифференциальных уравнений первого порядка, т.е. в виде линейной комбинации частных решений

yi (x)= Ai eλi x , где параметры λi определяются из характеристического уравнения

|aikλ2+bikλ+cik|=0.

Параметры Ai определяются из соответствующих линейных алгебраических уравнений.

6. Приложения дифференциальных уравнений в экономике

Пример 31

Пусть y(t) - объем продукции некоторой отрасли, реализованной к моменту времени t. Будем полагать, что вся производимая отраслью продукция реализуется по некоторой фиксированной цене p, т.е. выполнено условие ненасыщаемости рынка. Тогда доход к моменту времени t составит y(t) = py(t) .

Обозначим через I(t) величину инвестиций, направляемых на расширение производства. В модели естественного роста полагают, что скорость выпуска продукции (акселерация) пропорциональна величине инвестиций, имеет место дифференциальное уравнение

y′(t) =α I (t)

Полагая, что величина инвестиций I(t) составляет фиксированную часть дохода, получим

I (t) = mY (t) = mpy(t) ,

где коэффициент пропорциональности m (так называемая норма инвестиций) - постоянная величина, 0<m<1.

Подставляя последнее выражение для I(t) в дифференциальное уравнение, получим y′ = αmpy(t) , обозначим k=α mp, тогда y′ = k y (t) .

Данное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Его решение определяется в рамках стандартной методики, т.е.

dy	= k d t;	ln \| y \|= kt + ln C; ln	y	= k t;	y	= ek t ; y =Cekt .
y			C		C

При начальных условиях y0 = y(t0 ) решение можно записать в виде

y(t) = y0 ek (t −t0 ) .

На практике условие насыщаемости рынка может быть принято только для достаточно узкого времени интервала. В общем случае кривая спроса, т.е. зависимость цены реализованной продукции от ее объема является убывающей функцией p = p(y). По этой причине модель роста в условиях конкурентного рынка примет вид

y′ = mlp( y) y

оставаясь по-прежнему уравнением с разделяющимися переменными.

Так как все сомножители в правой части уравнения положительны, то y′ > 0 , и

это уравнение описывает возрастающую функцию y(t). При исследовании функции y(t) на выпуклость естественно используется понятие эластичности функции. Дифференцируя уравнение y′ = mlp( y) y получим

	′′	′	dp
y	′′	′		y + p
y		= mly		y + p

		dy			p dy
Так как эластичность спроса определяется формулой Ep ( y) =					p dy	, получим

					y dp
					y dp

			1
y	′′	′

		= mly p	Ep ( y)	+1

Условие y′′ = 0 равносильно равенству Ep ( y) = −1. Таким образом, если спрос

эластичен, т.е. | E p ( y) | >1или | Ep ( y) | < -1 , то y′′ > 0 и функция выпукла вниз; в случае если спрос эластичен, то функция выпукла вверх.

Пример 32

Найти выражение для объёма реализованной продукции y = y(t) , если известно, что кривая спроса p( y) задаётся уравнением p( y) = 2 − y , норма акселера-

ции 1l = 2 , норма инвестиций m = 0,5 , y(0) = 0,5 .

Для решения используем формулу, отражающую модель роста в условиях конкурентного рынка

y′ = mlp( y) y .

Тогда получим следующее дифференциальное уравнение

y′ = (2 − y) y

Далее разделим переменные

= dt;

= −dt;

= −d t .

(2 − y) y

y2 −2 y +1−1

( y −1)2 −1

Интегрируя, получаем

y −1 −1

= −t + ln C; ln

y − 2

= −t;

y −2

= e−t ; 1 −

= Ce−t ;

y =

y −1 +1

−Ce−t

Учитывая, что y(0) = 0,5 ,

получаем, что C = −3 . Таким образом,

решение рас-

сматриваемого уравнения имеет вид y =

+3e−2t

Пример 33

Найти функцию дохода Y = Y (t) , если известно, что величина потребления за-

даётся функцией C = 2t , коэффициент капиталоёмкости прироста дохода b = 12 ,

Y (0) = 2 .

Известно, что функция дохода равна

Y (t) = I (t) +C(t) ,

где I (t) – сумма инвестиций, C (t) – величина потребления. А также имеет ме-

сто дифференциальное уравнение

bY ′(t) = I (t) ,

где b – коэффициент капиталоёмкости прироста дохода. По условию задачи составим дифференциальное уравнение:

Y (t) = 12 Y ′(t) + 2t , или y′(t) −2 y(t) = −4t

Итак, функция дохода удовлетворяет линейному неоднородному уравнению первого порядка. Будем искать его решение в виде Y (t) = u(t)v(t) .


Тогда				y	′	′	′		′	′
Тогда				y		= u v + v u , подставим в уравнение u v +v u −2uv = −4t
1) u (v			′	−		2v) = 0		′
1) u (v				−		2v) = 0	2) u v = −4t
	dv						′	2t
		= 2dt					u e		= −4t
	v	= 2dt					u e		= −4t
ln v = 2t							du = −∫4te−2t dt
v = e2t							u = 2te−2t + e−2t +C

Общее решение	y = u v или	y = Ce2t + 2t +1. Используя	начальные условия
Y (0) = 2 , найдём	C : 2 =C +1	или C =1 . Итак, функция	дохода имеет вид
y = e2t + 2t +1.

КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

I)Найтиобщиерешенияобыкновенных дифференциальных уравненийирешить для них задачу Коши при y(1) =1; y'(1)=1; y"(1)=1; …; y(n)(1)=1. Если суще-

ствуют особые решения, указать их

01.

3y − x y' = 0 , y"+4 y' = 0 ;

02.

y'''−9 y' = 0 , y'= y − x ;

03.

y = x y'+4x2ex ,

y = (x +1)y'+y2 ;

04.

x y2 + 2x y' = y ,

y'+y tg (x)= 0 ;

05.

y2 +(x −a)y'= 0 , 2x2 y y'=1 + x2 ;

06.

0 ,

(2 y

1)ctg

(x);

y" 2 y (y')

07.

−

1, x

0 ;

08.

y'+y tg(x)= 0 ,

x3 y'= 2 y ;

y'''

09.

x y'−2 y = x3 ln (x),

10.

(1+ x2 )y'+1+ y2

= 0 ,

y'+y cos (x)= sin (2x);

;

− y = x y'−a 1+ x2

11.

y' =

−

, 3y

y'+y

= x +1;

12.

x y'+2

x = y , y'(x2 −4)= 2x y ;

13.

(y')2 = 4 y ,

y'+y2 = 2 ;

14.

y y'+x = 0 ,

y y"= (y')2 ;

15.

x2 y2 y'+y x2 =1,

x2 y'= y2 +x y;

16.

x y'+y = ln(x)+1, x2 y'+y2 =0;

18.

y + x

=x y',

17.

x y' sin

= y

cos

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Высшая математика

#
28.06.20221.38 Mб501431.pdf
#
28.06.20221.91 Mб8978-5-7996-1814-8_2016.pdf
#
28.06.2022378.64 Кб4DiffEq.pdf
#
28.06.2022767.47 Кб3Дифур.pdf
#
11.08.20229.52 Mб4Дифференциальные уравнения1.ppt
#
11.08.2022416.26 Кб6Дифференциальные уравнения5.ppt
#
28.06.20221.06 Mб7ИД Ои.pdf
#
28.06.2022286.21 Кб6Лекция 7 Экономические циклы.pdf
#
28.06.2022467.43 Кб1Матан вопросы.docx