Добавил:

Alister_stud Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Амурский государственный университет

Предмет:

Высшая математика

Файл:

01431

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

28.06.2022

Размер:

1.38 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 65 6 > Следующая >>>

	Пример 6. Найти интеграл				3x - 2

				x3		1 dx.

	Решение								x3 1 x 1 x2 x 1 ,
	Разложим знаменатель на множители
		3x 2	3x 2		A			Bx C
тогда			x 1 x2 x 1							освобождаемся от зна-
		x3 1		x 1			x2 x 1
менателя: 3x 2 A x2 x 1 Bx C x 1 Ax2									Ax A Bx2 Bx Cx C.

Теперь приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х: x2 A B 0, A B,

x1 A B C 3,

x0 A C 2, C A 2.

Из второго уравнения получаем A A A 2 3 A 13.

					Отсюда A														1		,			B								1		,				C				7	.
					Отсюда A																,			B										,				C					.
																		3														3										3
																																															1											1			7
																										3x 2																																		x
					Следовательно,																					3x 2											dx										3				dx							3		x		3			dx
					Следовательно,																																dx														dx														dx
																		x 7									x3 1																			x 1											x2 x 1
		1		ln		x 1				1																dx.
		1								1

		3								3					x2 x 1
		3								3					x2 x 1
					Выделим полный квадрат в знаменателе подынтегрального вы-
									2							1					1				3												1			2		3
ражения x										2							x												x															.
ражения x										2							x												x															.
																2					4				4												2					4
					Произведем															подстановку																			t x										1	, dt dx, x t																1		и
					Произведем															подстановку																			t x									2		, dt dx, x t																2		и
																																																2																		2
						x 7																		t						1	7
1						x 7														1				t					2		7										1								t						1				15					dt
													dx																2								dt																dt
													dx																								dt				3												dt
	3 x2 x 1																			3							2					3									3						2			3					3				2				2				3
																									t																				t																t
																									t							4													t					4											t						4
																																4																		4																	4
		1					2				3							5					2												2t					C
					ln t																							arctg
					ln t																							arctg
		6									4							2					3													3
			1		ln x2			x 1														5				arctg							2x							1	C.
		6

																							3													3
					Ответ:							1		ln			x 1								1			ln x2							x 1											5		arctg						2x		1	C .
												1													1																					5								2x		1


										3															6																						3					3
										3															6																						3					3

							Пример 7. Найти интеграл																							sin 2 x cos5 xdx.
							Решение
sin 2 x cos5 xdx [sin x t;cos xdx dt;cos2 x 1 sin 2 x]
sin 2								x cos4 x cos xdx sin 2 x(1 sin 2 x)2 d sin x t 2 (1 t 2 )2 dt
(t 2 2t 4 t 6 )dt																			t 3				2t 5							t 7	C
(t 2 2t 4 t 6 )dt																															C
																		3					5						7
			sin 3 x						2sin 5 x								sin 7 x							C.
																								C.
						3		5										7
							Пример 8. Найти интеграл																							sin 4 x cos2 xdx.
							Решение
sin 4 x cos2 xdx sin 2 x cos2 x sin 2 xdx
				sin 2				2x 1 cos 2x										dx							1			sin 2 2xdx								1	sin 2 2x cos 2xdx
						4				2								dx								8		sin 2 2xdx								8	sin 2 2x cos 2xdx
						4				2																8										8
			1				1 cos 4x				dx						1			sin 2 2xd sin 2x																1		dx			1	cos 4xdx
											dx									sin 2 2xd sin 2x																		dx				cos 4xdx
		8						2								16																				16					16
		1				sin 2 2xd sin 2x															x						sin 4x							sin 3 2x			C.
						sin 2 2xd sin 2x																															C.
		16																16										64					48
							Пример 9. Найти интеграл																												dx					.


																														4sin x 3cos x 5
							Решение
							Используем универсальную тригонометрическую подстановку
																											2dt

								dx																	1 t 2										2				dt				dt
																																2			2			2						2
	4sin x 3cos x 5																															2						2						2
	4sin x 3cos x 5																	4				2t					3		1 t				5				2t 8t 8						(t 2)
																		4				t 2					3						5
																		1				t 2							1 t 2
						1		C					1							C.

					t 2									x
												tg			2
												tg	2		2

Пример 10.

Найти интеграл

x 2

[x 2tgt; dx

2dt

]

2dt

4 x2

cos2 t

cos2 t 2tgt 4 4tg 2t

sin tdt

d cos t

cos t 1

ln |

| C

sin t

sin 2 t

cos2 t 1

2 2

cos t 1

cos

cos t

[tgt

; cos t

]

ln |

x2 4

ln |

2 4

| C.

x2 4

Пример 11. Вычислим площадь фигуры, ограниченной параболами: y 2x 2 3x 6,

y x2 x 2.

Решение

Найдем абсциссы точек пересечения заданных парабол. Для этого

приравняем правые части их		уравнений:	2x2 3x 6 x2 x 2,
3x2 4x 4 0,	Д 16 4 12 64, отсюда x			4 8	2,	x			4 8		2	.
							2
		1	6					6		3

Вычисление площади осуществляется по формуле
b		f1 x , f2 x ‒ кривые, ограничивающие
S f2 x f1 x dx , где

фигуру ( f1 x f2 x ). В нашем случае

	2					2					2			2			2					x3				x2
				(1 x		2		2) 2x			2		4 dx	3x			2	4x 2 dx
S							x					3x									3		4
S							x					3x									3	3	4		2
	2													2								3			2

		3													3
			3		8			3	4				2	224		2 32			2 8	224		192		144
	2		3				2 2	3		2 2
	2						2 2			2 2
					27				9				3	27			9		3	27		27			27

2x 23

1227 94 .

Пример 12. Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, расположенной в первом квадранте и ограниченной

параболой y 5x 2 , прямой y 2x 7 и осью Ох.

Решение

Найдем абсциссу точки пересечения параболы и прямой в первом

				5х		2	,
квадранте из системы уравнений	у			5х			,		откуда 5x 2 2x 7,
квадранте из системы уравнений									откуда 5x 2 2x 7,
			у	2х 2,
			у	2х 2,
или 5x2 2x 7 0.

Для этого решим уравнение x					1			1 35		1 6 , x		1, x			7	,
Для этого решим уравнение x		0,1								1 6 , x		1, x	0			,
		0,1						5		5	1		0	5
								5		5				5

атакже найдем абсциссу точки пересечения прямой с осью Ох:

2x 7 0,

x2 72 .

Тогда, используя формулу для вычисления объёма тела враще-

															x		2 dx,
												V1 1 5x2					2 dx,
ния получим V V1 V2 ,														0
ния получим V V1 V2 ,															x
															x
												V2 2 2x 7 2 dx,
															x1
где V1	25x4dx 5x5										1 5 .
			1
			0								0
		7																							7
		7

		2				2											4		3			2



V2								28 x										x			14 x			49 x		2
																										2
				4x						49 dx							3
		1															3								1
		1

	4		7		3							7	2							335			7 45		49 5
	4		7									7								335			7 45		49 5
							1		14						1
							1		14						1
	3		2									2									6		2		2

	670 1890 1470														125	.
	670 1890 1470															.
12														6

Пример 13. Решить дифференциальное уравнение .

Решение

Данное уравнение допускает разделение переменных. Разделяем переменные и интегрируем:

Ответ: общий интеграл:

Пример 14. Решить уравнение

x .

y x ln x y 3x

Решение

Разделим обе части

уравнения на

xln x :

x ln x 3x

ln x ,

убеждаемся, что оно линейное. Положим

y uv ,

тогда

u v uv

и уравнение преобразуется

к виду

u v uv

lnx,

или

x lnx


u v u v

3x2 ln x .

xln x

Так как искомая функция представима в виде произведения двух вспомогательных функций u и v, то одну из них можно выбрать произвольно. Выберем в качестве v какой-либо частный инте-

		v

грал уравнения v	x ln x 0 .
грал уравнения v	x ln x 0 .
Тогда для отыскания функции u имеем уравнение
				2	ln x .
			u v 3x		ln x .
Получаем два уравнения с разделяющимися переменными.
Решаем первое уравнение:

d(ln x )

0 ,

ln x

0 ,

x ln x

ln x

v ln x .

ln x

(*)

0 ,

Подставим v ln x в уравнение (*) и решим его:

u ln x 3x2 ln x ,		du	3x2 , du 3x2dx C , u x3 C .
u ln x 3x2 ln x ,			3x2 , du 3x2dx C , u x3 C .
		dx
Следовательно,	y ( x3 C )ln x ‒ общее решение данного урав-
нения.
Пример 15. Найти частное решение уравнения				y 4y 3y 0 ,
				10 .
удовлетворяющее начальным условиям: y(0) 6, y (0)				10 .

Решение

Для нахождения общего решения данного однородного уравнения составляем характеристическое уравнение к2 −4к +3 = 0, имеющее корнями числа к1 = 1, к2 = 3.

Общим решением данного уравнения является функция y C1ex C2e3x .

Используя начальные условия, определяем значения постоянных С1 и С2 . Подставляя в общее решение заданные значения х = 0, у = 6 (первое начальное условие), получим 6 = С1 + С2.

Дифференцируя общее решение уравнения, имеем y C1ex 3C2e3x и, подставляя в полученное выражение х = 0, у = 10 (второе начальное условие), получаем второе уравнение с неизвестными С1 и С2:

10 = С1 + 3С2 .

Решая полученную систему уравнений

C1 C2 6,

C1 3C2 10

находим С1 = 4, С2 = 2.

Подставляя значения С1 = 4 и С2 = 2 в общее решение уравнения, получим искомое частное решение данного уравнения, удовле-

творяющее заданным начальным условиям: y 4ex 2e3x .

Пример 16. Решить уравнение y y 2y 6x2 .

Решение

Находим общее решение однородного уравнения y y 2 y 0 .

Его характеристическое уравнение k 2 k 2 0 имеет корни								k 2 ,
								1
k	2	1. Тогда	y	одн	C e2x C	2	e x .
	2			одн	1	2

Найдем частное решение y данного неоднородного уравнения.

Его правая часть есть функция f ( x ) 6x2 . Так, число 0 не является

корнем характеристического уравнения, y есть многочлен

второй

степени, т. е.

Ax2

Bx C . Отсюда находим

2Ax B ,

и, подставляя

в данное уравнение, получаем тождество

2A 2Ax B 2Ax2 2Bx 2C 6x2 , или

2Ax2 ( 2A 2B )x 2A B 2C 6x2 .

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в обеих частях последнего равенства (только при этом условии оно будет тождеством), получаем систему уравнений

2A 6,

2 A 2B 0,

2A B 2C 0,

из которой находим А = − 3, В = − 3, С = − 4,5.

Следовательно,

3x2 3x 4,5 ,

и искомым общим решением

данного неоднородного уравнения является y C e 2x C

ex 3x2

3x 4,5.

Пример 17.

Найти частное

решение уравнения y 2y y

9e 2x 2x 4 ,

удовлетворяющее начальным условиям

y(0) 1,

y (0)

Решение

Характеристическое уравнение k 2 2k 1 0 имеет равные кор-

ни k

1, поэтому

одн

C e x

xe x .

Правая часть данного уравнения есть сумма показательной

функции

9e 2x и

многочлена первой степени 2х – 4 . Так как числа

−2 и 0 не являются корнями характеристического уравнения, то

Ae 2x Bx C .

2Ae 2x B ,

4Ae 2x

Подставляя

y ,

в данное урав-

нение, имеем

4Ae 2x 4Ae 2x 2B Ae 2x Bx C 9e 2x 2x 4 .

Приравнивая коэффициенты подобных членов обеих частей этого тождества, получаем систему уравнений

			9A 9,
			B 2,


		2B C 4,
откуда А = 1, В = 2, С = 0.
Следовательно,		e2x 2x , и общим решением данного урав-
	y
нения является функция y C e x C				2	xe x e 2x 2x .
			1
Используя начальные условия, определим значения постоянных
С1 и С2 . Так как y( 0 ) 1, то С1+1=1, С1=0.
Находим производную			y C1e x C2e x C2 xe x 2e 2x 2 .

Тогда С1 + С2 – 2 + 2 = 1, С1 + С2 = 1, С2 = 1.

Итак, y xe x e 2x 2x − искомое частное решение.

4.2. Задачи для контрольной работы

В задачах 1 ‒ 20 найти неопределённые интегралы способом

подстановки (методом замены переменной).

15.

cosx sin xdx.

dx .

dx.

1 2x2

8x4 1

( lnx)3

dx .

16.

dx .

2x4 5

2x2 3

arctgx

dx .

10.

17.

arcsin2 x

1 x2

x ln x

1 x2

cos x

11.

sin x

18.

dx .

arctg x

dx .

sin x

cos

1 x2

xdx.

12.

dx .

19.

ln x 3

dx .

2x3

13.

20.

dx .

5x 4 3 x3dx .

1 2x 2 xdx .

2 x4

14.

3 1

lnx

dx.

В задачах 21 ‒ 40 найти неопределённые интегралы, используя

выделение полного квадрата.

21.

4x 1

dx .

28.

3x 7

dx .

35.

5x 16

dx .

x2 4х

2х 17

8х 17

22.

5x 8

dx .

29.

5x 2

dx .

36.

3x 11

dx .

x2 2х

2х 5

8х

23.

3x 2

dx .

30.

7x 3

dx .

37.

17 x 5

dx.

x2 4х

6х 13

12х 40

24.

8x 3

dx.

31.

8x 7

dx .

38.

12x 7

dx .

x2 6х

x2 10х

x2 16х 65

25.

7x 3

dx .

32.

11x 3

dx .

39.

8x 7

dx .

x2 4х

6х 13

2х 17

26.

9x 10

dx .

33.

10x 7

dx .

40.

17 x 3

dx.

x2 6х

x2 8х

x2 8х 20

27.

3x 10

dx.

34.

3x 11

dx.

x2 8х

x2 16х

В задачах 41 ‒ 60 найти неопределённые интегралы, применяя

метод интегрирования по частям.

41.

lnxdx.

48.

(x 3)e 2xdx .

55.

x sin 8xdx.

42.

(2x 1) sin 3xdx.

49.

56.

arccosx dx .

х ln3 xdx.

43.

(x 1)e2xdx .

50.

(2x 8)e 7 xdx.

57.

arcsin 2xdx .

44.

xcos2x dx .

51.

x3lnxdx .

58.

(2x 1)cos3x dx .

45.

arctg2x dx .

52.

(3x 7)cos5x dx.

59.

(8x 10) sin 7xdx.

46.

(5x 1)lnxdx.

53.

(12x 2) sin 3xdx .

60.

ln8 xdx.

47.

(8x 2) sin 5xdx.

54.

х ln2 xdx.

В задачах 61 ‒ 80 найти неопределённые интегралы, пользуясь

разложением рациональных дробей на сумму простейших.

61.

68.

5x 11

dx .

75.

dx .

x3 1

x(х2 4)

(х 5)(x2

62.

x 20

dx .

69.

dx.. 76.

x 1

dx .

(х 1)(x2

x3 8х

63.

3x 1

70.

dx.

dx .

x(х2 1)

x3 1

64.

2x 5

dx .

71.

3x 1

dx.

x(х2 3)

x3 2х

65.

3x 1

72.

5x 1

dx .

x3 3х

x3 1

66.

8x 5

dx.

73.

2x 1

dx .

(х 1)(x2

x3 х

67.

7x 2

dx.

74.

2x 5

dx .

(х 3)(x2

x3 4х

77.	x				dx.

	(х 3)(x2
	(х 3)(x2		10)
78.	2х 5	dx .
		dx .
	x(х2 6)
79.	x 3			dx .

	(х 2)(x2
	(х 2)(x2		5)
80.	x 2			dx .

	(х 2)(x2
	(х 2)(x2		3)

В задачах 81 ‒ 100 найти неопределённые интегралы от тригонометрических функций.

81.	sin 3 2x cos5 2xdx.	88.	sin 2 3x cos7 3xdx.	95.	sin 2 8x cos3 8xdx.
82.	sin 3 3x cos3 3xdx.	89.	sin 5 3x cos4 3xdx.	96.	sin 2 6x cos5 6xdx.
83.	sin 3 2x cos 4 2xdx .	90.	sin 6 3x cos3 3xdx.	97.	sin 3 2x cos6 2xdx
84.	sin 5 2x cos 2 2xdx .	91.	sin 5 3x cos2 3xdx.	98.	sin 3 7x cos2 7xdx.
85.	sin 5 3x cos3 3xdx.	92.	sin 4 2x cos3 2xdx.	99.	sin 3 7x cos3 7xdx.

86.sin 4 3x cos5 3xdx. 93. sin 5 3x cos 4 3xdx. 100. sin 4 8x cos3 8xdx.

87.sin 2 5x cos5 5xdx. 94. sin 3 5x cos3 5xdx.

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 65 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Высшая математика

#
28.06.20221.38 Mб501431.pdf
#
28.06.20221.91 Mб8978-5-7996-1814-8_2016.pdf
#
28.06.2022378.64 Кб4DiffEq.pdf
#
28.06.2022767.47 Кб3Дифур.pdf
#
11.08.20229.52 Mб4Дифференциальные уравнения1.ppt
#
11.08.2022416.26 Кб6Дифференциальные уравнения5.ppt