Добавил:

Justeeeek100500 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный университет Львовская политехника

Предмет:

Вища геодезія

Файл:

mtg_theme 2.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

28.06.2022

Размер:

325.88 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 44

Тема 2. Геометрія земного еліпсоїда

2.6. Довжини дуг меридіана та паралелі. Площа сфероїдної трапеції.

Оскільки у формулі лінійного елемента поверхні еліпсоїда (2.46) кожна складова в правій частині є квадрат диференціала дуги координатної лінії, то звідти отримаємо наступні вирази для довжин дуг меридіана та паралелі:

O B

dSM Q

dSП

dX MdB;

X MdB;

	B1	(2.49)
dY N cos BdL;		(2.49)
Y	L2
Y	N cos BdL.
	L1

Рис. 2.9. Диференціали дуг меридіана та паралелі.

На практиці також часто виникає необхідність обчислення площі частин поверхні еліпсоїда (сфероїдних трапецій), які представляють площі знімальних трапецій.

Сфероїдною трапецією називається частина поверхні еліпсоїда, обмежена меридіанами і паралелями (рис

2.10).

		Елемент площі сфероїдної трапеції dP
	C	визначається добутком диференціалів дуг
B	C	координатних ліній: dP=dXdY. Замінивши dX і
B		координатних ліній: dP=dXdY. Замінивши dX і
		dY їх значеннями за формулами (2.45)
		отримаємо
		dP MN cosBdBdL,
		де М і N визначаються формулами (2.39) і (2.40)
A	D	відповідно.
A	D

Рис.2.10. Елементарна площа сфероїдної трапеції

Тоді площа сфероїдної трапеції визначається подвійним інтегралом:

L2	B2
P b2	(1 e2 sin2 B) 2 cosBdBdL.	(2.50)
L1	B1

2.6.1. Обчислення довжини дуги меридіана

Обчислення довжини дуги меридіана Х, згідно (2.49), зводиться до знаходження еліптичного інтегралу

B2
X a(1 e2 ) (1 e2 sin2 B) 32 dB,	(2.51)
B1

який в елементарних функціях не береться. Одним із класичних шляхів його знаходження є розклад підінтегрального виразу в біномінальний ряд з подальшим почленним інтегруванням.

Тема 2. Геометрія земного еліпсоїда

Маємо

						(1 e2 sin 2			B) 32											1					3		e2 sin 2 B											15	e4 sin4		B	35	e6 sin6	B ....
						(1 e2 sin 2			B) 32											1							e2 sin 2 B												e4 sin4		B		e6 sin6	B ....
																									2												8				16
	Замінивши в цьому виразі парні степені синуса косинусами кратних дуг згідно відомих рівнянь
sin 2	B		1		( cos 2B 1),
sin 2	B				( cos 2B 1),
	2
sin 4	B		1	(cos 4B 4 cos 2B						6						),
sin 4	B			(cos 4B 4 cos 2B												),
	8								2
sin 6	B	1				( cos 6B 6 cos 4B 15cos 2B																								20		),
sin 6	B					( cos 6B 6 cos 4B 15cos 2B																										),
	32																									2
та згрупувавши постійні члени і позначивши їх буквами A, B,C, D,... , отримаємо
										B2
						X a(1 e2 ) (A 2B cos 2B 4C cos 4B 6D cos6D ...)dB.
										B1
	Звідси, після почленного інтегрування і підстановки границь, знайдемо остаточно
								A(B												B )							B		(sin 2B								sin 2B )
								A(B											2	B )									(sin 2B						2		sin 2B )
																			2	1						2									2					1
															C											2
							2								C
						X a(1 e		)											(sin 4B2							sin 4B1 )																		(2.52)
						X a(1 e		)											(sin 4B2							sin 4B1 )																		(2.52)
									4
														D					(sin 6B								sin 6B ) ...
																			(sin 6B						2		sin 6B ) ...
									6																2						1
									6
	Коефіцієнти A, B,C, D визначаються																											із				наступних								виразів, основним				аргументом яких є
ексцентриситет еліпсоїда
							A 1												3	e2				45				e4					175			e6 ...
																			3					45									175

																			4	64											256
							B				3						e2				15		e4						525					e6 ...
							B										e2						e4											e6 ...
									4											16						512														.				(2.53)
												15										105																		.				(2.53)
						C						15						e4				105					e6 ...
						C												e4									e6 ...
									64											256
							D						35							e6 ...
							D													e6 ...
									512

За формулою (2.52) можна знайти довжину дуги меридіана будь-якої довжини, взявши при цьому необхідну кількість членів розкладу.

Для обчислення довжини дуги меридіана від екватора ( B1 00 ) до будь-якої паралелі з широтою В ,

формула (2.52) отримає наступний вид

	2		B		C		D
X a(1 e		) AB		sin 2B		sin 4B		sin 6B ...	(2.54)
			2		4		6

Формулу (2.54) можна представити ще в такому виді
X A0B A2 sin 2B A4 sin 4B A6 sin 6B ...,									(2.55)

де коефіцієнти A0 , A2 , A4 , A6 визначаються через параметри прийнятого еліпсоїда

		Тема 2. Геометрія земного еліпсоїда
A0	a(1 e		2					3		e	2		45			e	4		175		e	6
				) 1																			... ,
				) 1																			... ,
								4					64						256
A2	1	a(1 e			2			3	e	2			15		e	4			525	e	6
						)																... ,
						)		4					16						512			... ,
	2							4					16						512
	1						15						105										(2.56)
A4	1	a(1 e			2		15			e	4		105				e	6
						)													... ,
						)		64											... ,
	4							64					256
A6	1	a(1 e			2		35				e	6
						)								... .
						)		512						... .
	6							512

Формули (2.55) і (2.56) будуть використовуватися ще у темі 5.

Вираз для довжини дуги меридіана при малих відстаннях (довжини сторін або ланки тріангуляції 1 класу)

можна отримати на основі застосування формули Тейлора з введенням середнього аргумента.

Позначимо довжини дуг меридіанів від екватора до точок з широтою B1 , B2

та Bm

через X1 , X 2

та X m .

Крім того,

(B2 B1 )

;

B B2 B1 .

Тоді можна написати

X 2

X1 X f (B2 ) f (B1 ) f (Bm

) f (Bm

(2.57)

Приймаючи різницю широт між двома точками

B малою величиною,

отримаємо наступний ряд за

степенями В

d X

X X m

...

dB m

d X

X m

...

dB m 2

або

dX		B
X

dB m

1	d 3 X					3
					B		...	(2.58)
					B		...	(2.58)
24		dB	3
24		dB		m

Індекс “m” при коефіцієнтах цього ряду означає, що вони обчислюються за середнім аргументом Bm .

d i X

Похідні

(і=1,3), можна знайти на основі першої формули (2.49) послідовним диференціюванням:

dBi

M m ,

dB m

d 2 X

3ae2

(1 e2 ) sin 2Bm

3e2 M m sin 2Bm

2Wm

(1 e

d X

3ae

) cos 2Bm

5e sin 2Bm tg2Bm

4Wm

Тут W визначається формулою (2.21).

Останній вираз з точністю до членів з e2 можна записати

Тема 2. Геометрія земного еліпсоїда

d 3 X

cos 2B

Підставивши значення похідних у (2.58), остаточно отримаємо

X M m B

ae2 (1 e2 ) cos2Bm B 3 ...

(2.59)

де Mm обчислюється через Bm за формулою (2.39).

Другий член в правій частині формули (2.59) на широтах 45-55 складає всього лише 0,002м при

B 30' . Тому для малих різниць широт В, дугу меридіана можна розглядати як дугу кола з центральним кутом, який дорівнює різниці широт її крайніх точок, і описану радіусом меридіанного перерізу, що дорівнює

Mm , тобто
X M m B.	(2.60)
B2
Наближене значення інтегралу X MdB можна	обчислити також на основі застосування числових
B1

методів розв'язування означених інтегралів. Серед них: формули трапецій, Сімпсона, Гаусса, Чебишева тощо. В

розділі 1 приведено два методи обчислення подібного інтегралу f (x)dx : формули (1.10) для методу

Сімпсона та (1.11) для методу Гаусса. Застосуємо вказані формули для обчислення довжини дуги меридіана між точками з широтами B1 та B2 .

В першому випадку розділимо інтервал інтегрування на дві частини з кроком h B2 B1 . Для кожної

					2
вузлової точки k(k 0,1,2) з кроком h	за аргументом Bk B1 kh знаходимо значення підінтегральної
функції Mk . Тоді, згідно (1.10), отримаємо
X2 X1		(B2 B1)	M1 4Mm M	2 .	(2.61)
X2 X1			M1 4Mm M	2 .	(2.61)
	6

При застосуванні формули (1.11) виберемо дві вузлові точки (і=2). З врахуванням даних табл.1.1,

визначимо аргументи функції Mi . При i 1 аргументом буде значення широти B1 (B2 B1 )0.21132487 , а

при i 2 - B1 (B2 B1 )0.78867513 . Остаточно, формула для обчислення довжини дуги меридіана методом

Гаусса, буде
X2 X1 (B2 B)1 0.5M1 0.5M2 .	(2.62)

Вказані формули є рівноточними і дозволяють обчислювати довжину дуги меридіана при різниці широт

до 50 з похибкою 0.001м. Для розширення широтного діапазону треба ділити інтервал інтегрування на більшу кількість частин (для методу Сімпсона) або вибирати більшу кількість вузлових точок (для методу Гаусса).

Можна поставити і обернену задачу: при відомій довжині дуги меридіана X і її середній широті чи X ,

знайти різницю широт кінцевих точок чи широту B .
На основі (2.60) отримаємо
B (B B )		X	.	(2.63)
B (B B )			.	(2.63)
2	1	M m
		M m

Для визначення широти B за довжиною дуги меридіана X за основу можна взяти формулу (2.54)

Тема 2. Геометрія земного еліпсоїда

sin 2B

sin 4B

sin 6B ....

(2.64)

a(1 e2 )A 2A

Обчислення широти виконують методом послідовних наближень, приймаючи в першому наближенні

a(1 e2 )A

Коли за основу взяти формулу (2.49), то отримаємо наступні вирази

BII BI

sin(2BI )

sin(4BI ),

BIII BI

sin(2BII )

sin(4BII )

sin(6BII ),

(2.65)

BIV BI

sin(2BIII )

sin(4BIII )

sin(6BIII ),

B BI

sin(2BIV )

sin(4BIV )

sin(6BIV ).

Недоліком формул (2.64) та (2.65) при обчисленні широти є необхідність застосовування процесу наближень. Без наближень дана задача розв’язується методом перетворення (обертання) тригонометричних рядів. Якщо заданий тригонометричний ряд

y x p2 sin 2x p4 sin 4x p6 sin 6x ...,

то наступний ряд

x y q2 sin 2y q4 sin 4y q6 sin 6y ...,

буде оберненим по відношенню до заданого. Коефіцієнти в цих рівняннях пов’язані співвідношеннями


q		p		p			p					1		p		3		...,
	2		2		2				4							2
											2
q4		p4		p2		2 ...,
q		p		3p				p					3		p			3	....

6		6					2			4	2						2

Якщо тепер за задану взяти формулу (2.55), то обернена до неї буде визначатися із виразу

B A0 X A2 sin(2A0 X ) A4 sin(4A0 X ) A6 sin(6A0 X ),

(2.66)

де коефіцієнти A0 , A2 , A4 , A6 знаходяться із співвідношень

		1		,
	A	1
	A
0		A0
		A0
		A				A A			1	A	3
		A				A A			1	A	3
	A	2				2 4				2		,
	A								2	A		,
2		A				A	2		2	A
		0				0				0
			A				A	2
			A				A	2
A					4		2		,
A							A		,
4			A				A
				6			0

	A		A A	3	A	3

A	6	3	2 4		2	.
	A		A 2	2	A
6
	0		0		0

Тема 2. Геометрія земного еліпсоїда

2.6.2. Обчислення довжини дуги паралелі

Рівняння довжини дуги паралелі інтегрується зразу в кінцевому виді, оскільки паралель є колом (див. рис.

2.9) з радіусом r N cos B

Y	L2	N cos BL ( L	2	L	)N cos B lN cos B.	(2.67)
	L		2	1
	1

Очевидно, що при одній і тій же різниці довгот l L2 L1 дуга паралелі на різних широтах буде мати неоднакову довжину, поскільки радіус паралелі залежить від широти.

Обернена задача, тобто знаходження різниці довгот, розв'язується строго на основі формули (2.67).

2.6.3. Обчислення площі сфероїдної трапеції

Для обчислення площі формулу (2.50), з врахуванням (2.67), представимо в наступному вигляді

B2
P b2 (L2 L1 ) (1 e2 sin 2 B) 2 cos BdB.	(2.68)
B1

після чого використаємо прийом, аналогічний як при знаходженні інтегралу (2.51), а саме, підінтегральну функцію (2.68) розкладемо в біномінальний ряд:

(1 e2 sin2 B) 2

(1 2e2 sin2 B 3e4 sin4 B 4e6

sin6 B ...)cos B .

Застосовуючи загальну формулу інтегрування

sinn B cosBdB

sinn 1 B,

n 1

отримаємо

(sin B2 sin B1 )

(sin

sin

B1 )

P b

(L2

L1 )

(sin

sin

B1 )

(2.69)

(sin

sin

B1 ) ...

У формулі (2.69) B1 , B2 та L1 , L2 - геодезичні координати вершин сфероїдної (знімальної) трапеції.

Якщо задана номенклатура знімальної трапеції, площу якої необхідно обчислити, то перш за все

необхідно визначити геодезичні координати B і L її вершин. Для цього спочатку з допомогою бланкової номенклатури карти знаходять координати вершин трапеції масштабу 1:1000 000, а потім за стандартною процедурою (методом поділу масштабів) геодезичні координати вершин, заданої певним масштабом, трапеції.

	Числовий приклад.
	Для листа карти M 36 масштабу 1:					1 000 000 В2=52 , В1=48 , різниця довгот східної і західної рамок
карти L L 60 . Тоді, згідно формули						(2.69),			для еліпсоїда Красовського площа трапеції						M 36
	2		1
дорівнює P 191360 км2.
	Коли мова йде про дійсну площу ділянок фізичної поверхні Землі, то її підраховують не за приведеними
формулами, а шляхом безпосереднього вимірювання площ на топографічних картах чи планах.
	Для обчислення площі всієї поверхні земного еліпсоїда у формулі (2.69) треба прийняти L2 L1 2 ,
B		,	B		. Тоді
B		,	B		. Тоді
1	2		2	2
	2			2
					P 4 b2 (1		2	e2		3	e4		4	e6 ...).	(2.70)
					P 4 b2 (1			e2			e4			e6 ...).	(2.70)
						3			5			7

Тема 2. Геометрія земного еліпсоїда

На основі цієї формули можна знайти радіус еквівалентної кулі Rк , площа якої дорівнює площі еліпсоїда

4 Rк	2	4 b2 (1					2		e2			3		e4		4	e6	...),

					3					5					7
звідки

Rк b		1	2	e2		3		e4			4		e6		...			(2.71)

		3			5					7

Радіус кулі, рівновеликої за площею поверхні загального земного еліпсоїда GRS-80, дорівнює, згідно формули (2.71) 6370894м. Це значить, що при розв’язуванні деяких задач, в основному, наближеного характеру,

коли форму Землі можна прийняти за кулю, її радіус потрібно брати 6371км.

Крім площі трапеції, на практиці приходиться обчислювати і лінійні розміри її рамок в масштабі карти.

Рамки трапеції - це відрізки дуг меридіанів і паралелей. Формули для довжин рамок трапецій, у відповідності з формулами (2.63) та (2.67), будуть

100

N1 cos B1

L ),

см

2 cos B2

a2,см

100

(L2

L1 ),

(2.72)

c,см 100 m (B2 B1 ). m

де m - знаменник масштабу карти. Позначення сторін трапеції показані на рис. 2.11.

B1	h
B1
L1	L2
	a1

Рис. 2.11. Сторони знімальної трапеції Стрілку прогину рамки знімальної трапеції розраховують за формулою

h	1	N		sin 2B		(L		L ).	(2.73)
			m		m
16							2	1

Зазначимо, що всі кутові величини, які входять у вищенаведені формули безпосередньо, треба брати в радіанній мірі.

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 44

Соседние файлы в предмете Вища геодезія

#
28.06.2022829.03 Кб3journal-lab-p1.pdf
#
28.06.2022459.29 Кб2mtg_theme 1.pdf
#
28.06.2022325.88 Кб1mtg_theme 2.pdf
#
28.06.2022251.9 Кб3mtg_theme 3.pdf
#
28.06.2022539.81 Кб6mtg_theme 4.pdf
#
28.06.2022420.31 Кб1mtg_theme 5.pdf
#
28.06.2022372.82 Кб1mtg_theme 6.pdf
#
28.06.2022240.33 Кб1mtg_theme 7.pdf

		1		,
	A	1
	A
0		A0
		A0
		A				A A			1	A	3
		A				A A			1	A	3
	A	2				2 4				2		,
	A								2	A		,
2		A				A	2		2	A
		0				0				0
			A				A	2
			A				A	2
A					4		2		,
A							A		,
4			A				A
				6			0

		1		,
	A	1
	A
0		A0
		A0
		A				A A			1	A	3
		A				A A			1	A	3
	A	2				2 4				2		,
	A								2	A		,
2		A				A	2		2	A
		0				0				0
			A				A	2
			A				A	2
A					4		2		,
A							A		,
4			A				A
				6			0

Рис. 2.9. Диференціали дуг меридіана та паралелі.

На основі (2.60) отримаємо

		1		,
	A	1
	A
0		A0
		A0
		A				A A			1	A	3
		A				A A			1	A	3
	A	2				2 4				2		,
	A								2	A		,
2		A				A	2		2	A
		0				0				0
			A				A	2
			A				A	2
A					4		2		,
A							A		,
4			A				A
				6			0