9.Найти эйлерову характеристику сферы .
Решение. Сфера в 3-мерном пространстве – это 2-мерное компактное связное отделимое многообразие без края.
Впишем в сферу
тетраэдр -
треугольная пирамида симплекс-3-мерном
пр-ве
Тетраэдр
- двумерное компактное связное отделимое
многообразие без края.
Рассмотрим
ортогональное проектирование
из центра
такое, что для
ставим в соответствие
.
Ортогональное проектирование
-это
гомеоморфизм, т.е.оно взаимно однозначно
и взаимно непрерывно.
и
гомеоморфны.
Эйлерова характеристика
,
где
-
вершины,
-
ребра,
-грани.
.
Но эйлерова
характеристика – это топологический
инвариант, т.е.она сохраняется при
гомеоморфизмах..
эйлерова
характеристика сферы
.
Замечание. Эйлерова характеристика применима только к компактным многообразиям.
----------------------------------------------------------------------------------------------
10.найти
точку пересечения касательной к линии
,
,
в точке касания
с плоскостью
.
Решение.
,
Теорема. В каждой
точке
гладкой линии
,
заданной ур-ем
,
сущ-т касательная прямая, которая
опред-ся точкой
и направляющим вектором
.
.
Т.к.рассматр.пересечение
с
,
то координата по
.
При
имеем точку
.
11. написать
уравнение касательной плоскости и
рнормали к геликоиду, заданному
уравнениями
,
,
,
,
,
в точке
.
Решение.
Уравнение касательной плоскости
Уравнение нормали:
В точке
:
Найдем
:
.
Уравнение касательной
плоскости:
.
Но
,
,
.
Поэтому
Уравнение нормали
12.найти первую квадратичную форму геликоида
,
,
,
,
.
Решение:
Квадр форма
назыв первой квадратич формой поверхности
.
,
,
