Б1.В3Топологич пр-ва.Гомеоморф.Примеры

Б.1 В.4 Понятие линии и поверхности в евкл-ом пр-ве. Гладкие линии и пов-ти. примеры первая квадратичная форма пов-ти Пусть Е₃ – евклидово трехмерное пространство с пространством переносов V. Зададим п.с.к. . Положение точки М, движущейся в пространстве Е₃ (рис.1), в момент времени tI определяется радиус – вектором точки М относительно п.с.к. . Т.о., имеем векторную ф-ию скалярного аргумента tI =, (1) причем M(x(t), y(t), z(t) ) в п.с.к. в момент времени t.Опр 1: Равенство (1) называется законом движения точки (частицы) M в системе . Если время t изменяется в промежутке I, то точка M описывает в пространстве E₃ некоторую траекторию.

Опр 2: Если закон движения (1) устанавливает гомеоморфизм промежутка I на траекторию M, то эта траектория называется элементарной линией. Опр 3: Простейшими линиями в пространстве E₃ называются прямые, отрезки и замкнутые лучи. Очевидно, что определение 2 эквивалентно следующему определению:

О пр2’: Фигура γ₀ E₃ наз-ся элементарной линией (или элементарной кривой), если она гомеоморфна одной из простейших линий

Элементарная линия Неэлементарная линия

Замечание: Фигура, гомеоморфная отрезку, наз-ся дугой. Зададим гомеоморфизм f : Rd по след правилу: на прямой d рассмотрим систему координат, тогда каждому числу tR: поставим в соответствие точку М (t) (т.е. такую точку М, что) прямой d .

M(t) d

Рис.3

Очевидно, что в гомеоморфизме f числовая прямая переходит в прямую d, числовой интервал – в отрезок прямой d без концов; числовой отрезок – в отрезок, полуинтервал в отрезок без одного конца, который гомеоморфен лучу. Следовательно, любой числовой промежуток гомеоморфен одной из простейших линий. Поэтому определение 2 эквивалентно определению: Опр . Фигура γ₀ E₃ называется элементарной линией, если она гомеоморфна некоторому числовому промежутку. Примеры: 1) Полуокружность с концами А и В гомеоморфна отрезку (рис.4), поэтому полуокружность является элементарной линией (дугой).

Опр 4: Линией (кривой) называется фигура, которую можно покрыть конечным или счетным множеством элементарных линий.

Из определения 4 следует, что если γ −линия, М – точка этой линии, то существует элементарная линия γ₀, такая, что М γ₀ γ. Примеры: 2) Гипербола состоит из двух ветвей, каждая из которых гомеоморфна прямой линии. Следовательно, гипербола – линия. И т.д. Опр 5: Точка М линии γ называется обыкновенной, если ε>0│ γ∩B(M,ε) является элементарной линией. Если пересечение гомеоморфно прямой, то точка называется внутренней, если лучу – то граничной (концом линии). Опр 6: Точка M₀ называется особой, если она не является обыкновенной.

M_{0 М}

Опр 7: Линия, все точки которой обыкновенные, называется простой. Примеры: Окружность, эллипс – простые, но не элементарные линии. Зам: 1)Всякая простая линия явл одномерным многообразием (или одномерным многообразием с краем). 2)Всякая простая линия либо является элементарной, либо гомеоморфна окружности.

Гладкие линии Опр 1: Элементарная линия γ_0, определяемая параметрическими уравнениями x=(x(t), y= y(t), z= z(t) (1) tI (t изменяется в промежутке I), называется гладкой линией класса С^k, где k – некоторое натуральное число, если функции x(t), y(t), z(t) имеют в промежутке I непрерывные производные до порядка k включительно, причем в каждой точке t).

ранг =1. (2)

гладкая прямая негладкая прямая

Замечание: Аналитически условие (2) означает, что производные не обратятся в нуль одновременно ни при каком значении tI. Пр 1:

Синусоида на плоскости определяется ур-ми .

условие (2) выполнено. Сл, синусоида – гладкая линия класса С ^∞.Опр 3: Линия γ называется кусочно-гладкой, если область U можно покрыть не более как счетным множеством промежутков I_k, внутри каждого из которых уравнения (1) определяют гладкую линию (на концах этих промежутков требование гладкости может нарушаться).не выполняется.

Понятие поверхности. На евклидовой плоскости E₂ зададим прямоугольную систему координат и рассмотрим гомеоморфизм φ: Е₂ →R² по правилу: (M(x;y)E₂) φ(M)=(x;y); (x;y) R² - точка в R² (арифметическом пространстве). Таким образом, можно отождествить числовое пространство R² с плоскостью E₂, числовое полупространство R²₊ с замкнутой полуплоскостью y0; числовой квадрат с квадратом OABC.

Опр 1: Простейшей поверхностью в пространстве E₃ будем называть любую из следующих фигур: плоскость, замкнутую полуплоскость, квадрат. Опр 2: Элементарной поверхностью называется фигура, гомеоморфная какой-либо из простейших поверхностей (или, что то же самое, некоторому двумерному промежутку G R²). Примеры: Эллиптический, гиперболический параболоиды; параболический цилиндр гомеоморфны пл-ти; полусфера с границей гомеоморфна кругу и т.д.

Контрпримеры: не являются элементарными следующие поверхности: сфера (её можно покрыть двумя полусферами); эллипсоид (он гомеоморфен сфере), эллиптический цилиндр (его можно покрыть конечным числом цилиндрических полос, гомеоморфных плоскости); однополостный гиперболоид (гомеоморфен эллиптическому цилиндру)

двуполостный гиперболоид (покрывается двумя своими полостями, каждая из которых гомеоморфна плоскости); гиперболический цилиндр и т.д

О пр 4: Точка M поверхности F называется обыкновенной, если у этой точки как точки пространства существует - окрестность B(M, ), такая, что F∩ B(M, )является элементарной поверхностью. Если пересечение гомеоморфно плоскости, то точка называется внутренней, если замкнутой полуплоскости – граничной. Опр 5: Точка M F называется особой, если она не является обыкновенной. Пр: Рассмотрим цилиндрическую поверхность, которая сама себя пересекает по прямой MN. Каждая точка этой прямой является особой

М

N

Опр 6: Поверхность, все точки котобыкновенные, наз простой.

Опр7: Множество всех граничных точек простой поверхности называется её краем (границей). Примеры: 1) Всякая элементарная поверхность является простой. 2) Сфера, эллипсоид, эллиптический цилиндр, гиперболоиды – простые поверхности.3) Коническая поверхность не является простой, т.к. её вершина – особая точка. Замечания: 1) Любая поверхность, гомеоморфная квадрату, является поверхностью с краем, причем край гомеоморфен окружности. 2) Всякая поверхность, гомеоморфная замкнутой полуплоскости () также является поверхностью с краем, но край гомеоморфен прямой. 3) Всякая простая поверхность является двумерным многообразием (или двумерным многообразием с краем). В дальнейшем будем изучать простую поверхность F в некоторой -окрестности B(M, ), её внутренней точки M. Очевидно, что всегда можно выбрать настолько малым, что пересечение) F∩ B(M, ) будет гомеоморфно плоскости. Будем обозначать через G плоскую область, гомеоморфную плоскости (или R²), а через F₀ = F∩ B(M, ) - элементарную поверхность, гомеоморфную G. Зададим в пространстве E₃ п.с.к. и рассмотрим гомеоморфизм f: G→F₀ (см приложение 1)

Если точка (u,v) переходит в точку M(x,y,z)F₀, то ясно, что x,y,z являются функциями (непрерывными) от переменных u и v:

x=x(u,v); y=y(u,v); z=z(u,v), (1) определёнными в области G.(1)– параметрические уравнения поверхности F₀. Уравнения (1) эквивалентны векторному уравнению:

, (2) _где - радиус-вектор точки M. Уравнение (2) коротко можно записать в виде: . (3) – векторная функция двух скалярных аргументов u,v, определенная в G(области G)(см приложение 2). G – открытая область в плоскости Oxy; z=f(x,y) – явное ур-ие поверхности F₀. Гладкие поверхности. Пусть F₀ – элементарная поверхность, заданная параметрическими уравнениями: x=x(u,v); y=y(u,v); z=z(u,v), (1) где функции в правых частях определены в плоской области G. Опр 1: Элементарная поверхность называется гладкой класса C^k (kN), если правые части уравнений (1) являются функциями, имеющими в области G непрерывные частные производные до порядка k включительно, причем в точке (u,v) ранг (2) Опр 2: Простая поверхность F называется гладкой класса C^k, если у каждой её внутренней точки M существует ε-окрестность B(M, ε), такая, что F∩ B(M, ε) - гладкая элементарная поверхность класса C^k.