В.2 Линии и поверхности 2-ого порядка в аффинных и евклидовых пространствах, канонические уравнения.

Эллипсом наз мн-во всех точек пл-ти, сумма расстояний от каждой из которых до данных точек и равна длине данного отрезка .Замечание. Сумма расстояний от любой из точек эллипса до точек и есть константа, равная длине данного отрезка .

Точки и - фокусы эллипса, -фокальное расстояние, и - фокальные радиусы точки эллипса. Если точки совпадут, будем иметь окружность.Ур-ие эллипса. (*) Свойства эллипса: 1) , - правильные дроби , ; , . все точки эл-са лежат внутри прямоуголника. Точки , , , -вершины эл-са, - большая ось эл-са, - малая ось эллипса, - большая полуось эл-са, - малая полуось эл-са 2) в ур-ии (*) координаты точек , входят во второй степени если точка с координатами удовл-т (*), то и точки с коорд-ми , , также будут удовл-ть (*), т.е.все они эллипсу. оси координат-оси симметрии эл-са. Начало прямоуг.системы корд – центр симметрии. 3) если возрастает то 0 до , то убывает от до 0. 4) эксцентриситетом эл-са наз число , где -фокальное расстояние, -большая полуось, . Если , то эл-с окружности. Если , то эл-с «вытягивается» вдоль большой оси. влияет на форму эл-са. 5) парам.ур-ия эл-са: , . Докажем. Подставим в (*):

6) эл-с с неравными полуосями и является образом окружности, построенной на большой оси как на диаметре при сжатии плоскости к прямой с коэф-ом сжатия . Гиперболой наз мн-во точек пл-ти, абсол знач разности расстоянийот каждой из которых до данных точек и равно длине данного отрезка , причем . Точки , - фокусы гиперболы. - фокальное расстояние. Если т. гиперболе, и - фокальные радиусы т. .

Уравнение гиперболы: (**) Св-ва гиперболы: 1) в ур-ии гиперболы , входят во второй степени г-ла – линия 2-го порядка.2)Если т. гиперболе, то и т.с корд-ми гиперболе. Эти точки симметричны отн-но оси . г-ла симметрична отн-но оси . Аналогично г-ла симметрична отн-но оси . аналог гипербола сим-на отн-но начала прям системы корд-т3)Пусть

точки с корд , г-ле. Их наз вершинами г-лы. Если , то -нет решения гла ось ординат не пересекает 4)Из(**) . Внутри полосы точек г-лы нет г-ла сост из двух ветвей.

5) - асимптоты г-лы 6) , то и . 6)Эксцентриситет г-лы – число , т.к., то . ; ; или , где - угол между осью абсцисс и асимптотой г-лы. Параболой наз мн-во всех точек пл-ти, расстояние от каждой из которых до данной т равно расстоянию до данной прямой , не проходящей через т . т - фокус параболы, прямая -директриса параболы. Расстояние от т до прямой - фокальный параметр параболы и обозн .Уравнение параболы: (***)

Св-ва параболы 1)уравнение параболы- уравнение 2-ой степени относит парабола – кривая 2-го порядка 2)так как , то и вся парабола расположена в правой полуплоскости 3)если , то парабола проходит через т. , т. -вершина параболы. 4)если т.параболе, то и точка также принадлежит параболе п-ла симметр отн-но оси абсцисс-оси симметрии пар-лы 5)любая прямая, проходящая через начало корд-т, пересекает параболу в 2-х точках 6)эксцентриситет параболы всегда.7)если перемещается по параболе, , то и Директрисами эллипса (гиперболы) наз 2 прямые, параллельные 2-ой оси кривой и отстоящие от нее на расст , -эксцентриситет кривойдиректрисы э-са и г-лы – прямые . Эллипсоидом наз пов-ть, кот в некот системе декарт координат опред-ся ур-ем , , , - полуоси эллипса.

Однополостным гиперболоидом назыв пов-ть, кот в некот системе декарт прямоуг корд-т, опред ур-ем . Двуполостным гиперболоидом наз пов-ть, определ

у р-ем

Поверхность, кот в некот декарт ПСК опред ур-ем вида , наз конусом 2-го проядка. Эллиптическим параболоидом наз пов-ть, определ ур-ем

Гиперболическим параболоидом - пов, определ ур-ем Эллиптич цилиндр Гипербол цилиндр

Параб цилиндр Мнимый цилиндр Общее ур-ие цилиндра . Если лев часть этого ур-ия есть произведение двух множителей первой степени, то цилиндр вырождается в пару плоскостей.