ЧМРЗМФ
.doc-
Метод прогонки решения разностных уравнений.
Пусть требуется решить стационарную краевую задачу математической физики, то есть когда искомая функция зависит лишь от одной пространственной координаты и не зависит от . Пусть краевая задача имеет вид:
Решение поставленной задачи ищем на равномерной сетке
Производные аппроксимируем конечно разностными формулами (то есть находим приближенное значение, путем выбора вспомогательной функции похожей на данную на определенном отрезке(рассматриваемом))
Таким образом (1)-(2) сведется к сист лин алг урав
где - заданные краевые условия.
Очевидно, что система (5) имеет трехдиагональную матрицу, матрицу, так как каждое уравнение содержит лишь 3 соседних неизвестных.
Суть метода: решение отыскиваем в виде
где - пока неизвестные коэффициенты, называемые прогоночными коэффициентами.
Если заменить в (8) j на j-1 и подставить:
в уравнение (5), то оно преобразуется к виду:
Сравнивая теперь (8) и (10) получаем рекуррентные формулы для прогоночных коэффициентов
Применяя (8) к j=0 и используя краевые условия, находим
.
Таким образом решение складывается из двух этапов
-прямой ход: вычисляются прогоночные коэффциенты по рекуррентным формулам (11) с начальными значениями (12).
-обратный ход вычисляются значения функций.
Задача 1.1. Дана краевая задача
Соответствующая ей система разностных уравнений имеет вид:
, ,
,
.
Решить эту систему методом прогонки для .
Решение: суть метода рассказывается чуть выше
) – общий вид уравнения,
- уравнения из условия задачи.
Перепишем его в виде
Используем равномерную сетку (то есть шаг изменения переменных постоянный)
Пусть N=4, тогда h=1/4, , j=1…4
Причем:
- граничная точка
- внутренние точки
- граничная точка
Используя трехточечную разностную схему, получим СЛАУ из трех уравнений
где
Имеем прямой ход метода прогонки и прогоночные коэффициенты
Прямой ход
и так далее до получаем, что
Обратный ход:
до N=4, тогда при ,
Ответ
x |
0 |
1/4 |
1/2 |
3/4 |
1 |
u(x) |
1 |
0.9260 |
0.7097 |
0.3843 |
0 |
Вычисления проведете сами по формулам
2. Основные понятия теории разностных схем: аппроксимация, устойчивость, сходимость.
Разностная схема это аппроксимирование некоторой дифференциальной задачи системой конечно- разностных уравнений.
Рассмотрим дифференциальную задачу с начальными и краевыми условиями в виде
B,L и так далее, более простыми отношениями, которые называются конечно разностными:
Здесь Lh, Bh-разностные операторы, u-решение разностных уравнений, функции f, ψ, θ – приближенные значения функций F, Ψ, Θ соответственно. Предположим, что известно точное решение диф задач(1)-(3), если поставить это решение в разностную схему (4), получится некоторое отклонение, которое называется невязкой и имеет вид:
Аппроксимация - когда с уменьшением шагов невязка стремиться к нулю, то есть ее смысл состоит в том, что с уменьшением шагов конечноразностные уравнения стремятся к исходным. Обычно аппроксимация обозначается
Говорят, что разностная схема устойчива, если малые изменения исходных данных приводят к малым изменениям решения, то есть если
Говорят, что разностная схема сходится (к точному значению) если
Если погрешность решения :
Говорят, что разностная схема сходится кс к-ым порядком пот h и s-м порядком по τ.
Задача 2.1 . Используя метод конечных разностей составить решение краевой задачи с точностью , при h=0,1:
;
Решение:
Требуется найти значение искомой функции на [2; 2,3], h=0,1
задача ищется в виде:
Краевые условия примут вид
Таким образом задача сводится к решению системы лин уравнений
Неизвестные можно найти из системы
Таким образом получаем таблицу искомых значений
х |
2 |
2,1 |
2,2 |
2,3 |
у |
2,235 |
2,185 |
2,158 |
2,15 |
3.Разностная аппроксимация задачи Дирихле для уравнения Пуассона: постановка разностной задачи, оценка погрешности.
Уравнение элиптич типа имеет вид
У-е Пуассона описывает распределение электрического потенциала в среде с плотностью заряда и электрической проницаемостью.
Рассмотрим так называемую задачу Дирихле или краевую задачу для уравнения Пуассона
Воспользуемся сеткой с узлами
Если аппроксимировать 2- е производные в операторе
конечноразностными функциями на 5–ти точечном шаблоне «крест», то можно построить разностную схему
Схема (4) имеет погрешность аппроксимации , то есть эта схема второго порядка; значения
задаются краевыми условиями.
Задача 3.1.Используя метод сеток, составить приближенное решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в квадрате АВСD с вершинами А(0;0), В(0;1), С(1;1), D(1;0), взяв шаг h=0,5; Г – граница рассматриваемой области; .
Вычислим значения в граничных точках по заданной формуле
Е(0.5;1), F(1;0.5), G(0.5;0), H(0;0.5)
u(A)=u(0,0)=0
u(B)=u(0,1)=0+1=0
u(C)=u(1,1)=2
u(D)=u(1,0)=1
u(E)=u(0.5;1)=1.5;
u(F)=1.5
u(G)=0.5
u(H)=0.5
Для нахождения решения используем шаблон
По формуле найдем значение функции в точке I.
Решения запишем в виде таблицы
1 |
1.5 |
2 |
0.5 |
1 |
1.5 |
0 |
0.5 |
1 |
4. Двухслойные разностные схемы для уравнения теплопроводности: построение, исследование погрешности аппроксимации.
Рассмотрим уравнение теплопроводности,
которое дополняется начальными и краевыми условиями
В этих уравнениях u-температура, a^2-коэффициент теплопроводности, f(x,t)- описывает внутр-е источники тепла.
Для существования и единственности решения уравнения (1) не требуется согласования начальных и краевых условий, то есть допускаются разрывы функции u(x,0) на границах в начальный момент времени t=0. Построим равномерную сетку, где
Значения сеточных функций принято обозначать . Если выбрать четырехузловой шаблон (смотрите рисунок, там где стрелочками помеченно) то можно рассмотреть явную разностную схему
Погрешность данной аппроксимации равна , однако если при f=0 выбрать такое отношение шагов , что =1/6, то погрешности конечно-разностных производных по x и по t взаимно компенсируется и порядок аппроксимации возрастает до .
Задача 4.1. Используя метод сеток, составить решение уравнения теплопроводности при заданных начальных и краевых условиях ; ; , где для , при h=0,2, .
Решение:
- начальное условие
- краевые условия
(так как , но по условию )
(так как =0 )
Для определения значения во внутренних точках, применим формулу
Все ручные расчеты будем оформлять в таблицу
|
i |
0 |
1 |
2 |
3 |
j |
0 |
0.2 |
0.4 |
0.6 |
|
0 1 |
0 0.01 |
0 0 |
1.2 0.95 |
1.4 1.25 |
1 1.02 |
5. Трехслойная разностная схема для уравнений гиперболического типа.
Рассмотри уравнение гиперболического типа, которое описывает распространение колебаний и волн (упругих, акустических и др) с её начальными и краевыми условиями.
Для численного решения обычно используют простейшую трехслойную разностную схему, которая строится гна 5-ти узловом шаблоне
Тогда получается следующая трехслойная разностная схема
Для данной схемы погрешность аппроксимирования .
Чтобы начать вычисления по формуле (4), необходимо располагать значениями u0 и u1
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Задача 5.1. Используя метод сеток, составить решение смешанной задачи для уравнения колебания струны с начальными условиями:
; , и краевыми условиями ; , взяв h=0,2 при .
Решение: Суть метода заключается в том, что сначала находятся значения функции на конца, затем по ним соседние внутренние, по соседним соседние и так далее. На концах решения находятся по начальным условиям, у внутренние по специальным формула (они последние в решение)
количество значений
количество значений
Используя начальные условия , и краевое , будем искать:
(значения первой строки)
(значения второго столбца)
(значения последнего столбца таблицы)
Остальные значения внутренних точек ищем по формулам
(найдем значения, которые записываются во вторую строчку, где )
где даны по условию,
и (по этой формул найдем значения третей и четвертой строки)
все вычисления будем оформлять в виде таблице. (в ней подсчитаны значения лишь 1,2 и последн столбца и первой строки, остальное посчит сами )
|
0 |
0,2 |
0,4 |
0,6 |
0,8 |
1 |
0 0,2 0,4 0,6 |
0 0.04 0.16 0.36 |
0.04 |
0.16 |
0.36 |
0.64 |
0 0 0 0 |