Логические задачи
Задача упрощения логического выражения состоит в преобразовании его к более простому (по числу переменных, операций или операндов) эквивалентному выражению. Наиболее простой вид получается при сведении функции к постоянной – 1 (истина) или 0 (ложь).
Задача доказательства равенства двух логических выражений (функций) состоит в установлении эквивалентности этих функций на некотором множестве значений всех переменных, входящих в данную функцию.
Такие задачи решаются с помощью аксиом алгебры предикатов одним из следующих способов:
правая часть равенства приводится к левой части;
левая часть равенства приводится к правой части;
обе части равенства приводятся к третьему выражению.
Логические функции позволяет эффективно решать так называемые инфологические (информационно-логические) задачи, доказывать утверждения.
Информационно-логическая (инфологическая) задача – это задача, в которой необходимо установить некоторые информационные или логические связи и сделать необходимые причинно-следственные логические выводы. Эти задачи возникают в различных областях и часто являются плохо формализованными и структурированными. Их нужно хорошо формализовать и структурировать. Насколько хорошо будет возможно это сделать – настолько хорошо и полно будет решена рассматриваемая проблема или задача. Рассмотрим пример информационно-логической задачи (например, решаемой следователем, знакомым с алгеброй предикатов).
Пример1.6. Брауну, Джонсу и Смиту предъявлено обвинение в соучастии в ограблении банка. В ходе следствия Браун сказал, что преступники были на синем «Бьюике», Джонс сказал, что это был черный «Крайслер», Смит утверждал, что это был «Форд», но не синий. Каждый указал неправильно либо марку, либо цвет автомобиля. Определим истинный цвет и истинную марку автомобиля.
Решение. Рассмотрим простые высказывания вида: х = «машина – синяя», у = «машина – Бьюик», z = «машина – черная», u = «машина – Крайслер», v = «машина – Форд». На их основе высказывание Брауна можно записать в виде сложного логического выражения вида x y, высказывание Джонса – в виде z u, а высказывание Смита – в виде ¬х v. Так как в каждом из этих выражений одна из переменных принимает значение «истина», то истинны и дизъюнкции вида: x Ú y = 1, z Ú u = 1, ¬х Ú v = 1. По определению конъюнкции, (x Ú y) (z Ú u) (¬х Ú v) = 1. Это выражение взято из-за однозначности равенства 1 конъюнкции и неоднозначности (многовариантности) его равенства нулю. Упростим выражение:
1 = (х Ú у) (z Ú u) (¬х Ú v) = (x z Ú y z Ú x u Ú y u) (¬х Ú v) = = x z ¬х Ú y z ¬х Ú x u ¬х Ú y u ¬х Ú x z v Ú y z v Ú x u v Ú y u v = 0 Ú y z ¬х Ú 0 Ú 0 Ú 0 Ú 0 Ú 0 = y z ¬х.
Использован тот факт, что одновременно не могут быть истинными два высказывания относительно цвета или два высказывания относительно марки машины. Так как конъюнкция истинна только тогда, когда у=1, z=1, ¬х=1, то заключаем, что автомобиль был черным «Бьюиком».
Законы алгебры высказываний и предикатов сходны с правилами, по которым человек делает умозаключения, доказывает, мыслит.
Операции конъюнкции, дизъюнкции, отрицания алгебры высказываний – аналоги союзов «и», «или», приставки «не», используемых (возможно, интуитивно) при выражении мысли человеком.
Чтобы переложить на ЭВМ работы мыслительного характера, эти правила необходимо строго сформулировать, формализовать. Это позволяет осуществить алгебра логики. Приведем некоторые аксиомы логики – науки, изучающей методы доказательства и опровержения утверждений.
Аксиома исключения третьего: имеет место либо высказывание, либо его отрицание.
Аксиома противоречия: высказывания и его отрицание не могут иметь места одновременно.
Аксиома двойного отрицания: двукратное отрицание какого-либо утверждения равносильно исходному утверждению.
Аксиома тождества: всякое высказывание тождественно самому себе.
Доказательство формальных математических утверждений (теорем) – последовательность корректных выводов, ведущих от условия к заключению. Алгебра логики помогает доказывать теоремы (дает общие подходы и методы доказательства).
Общий подход к доказательству теорем методом от противного, обратных и противоположных теорем можно формализовать с помощью алгебры логики.