0 группа (Элементы теории поля)

1. Скалярное и векторное поле.

Скалярное поле, это поле, которое в каждой точке характеризуется одним числом, т.е. каждой точкой M ∈ Ω ставится в соответствие некоторое число u (x, y, z), считаем что положение точки M определяется её координатами (x, y, z)

Таким образом u (x, y, z) можно рассматривать как некоторую функцию, заданную в области (x, y, z) ∈ Ω

В “чистой” математике скалярные поля рассматривают редко, ограничиваясь рассмотрением числовых функций.

Пример скалярного поля – температурное поле, поле давления, поле плотности

Далее будем предполагать, что функция u (x, y, z) имеет непрерывные частные производные по всем переменным

Если эти производные не обращаются одновременно в 0, то уравнение u (x, y, z) = const определяет некоторую поверхность(без особых точек!)

• Эта поверхность, вдоль которой величина u сохраняет постоянное значение, называется поверхностью уравнения, или изо- поверхностью. Примеры изотермы, изобары и т.д.

Вся рассматриваемая область Ω заполнена поверхностями уровня, причем между собой эти поверхности не пересекаются

• Через каждую точку области проходит одна и только одна изо- поверхность.

Векторное поле, это поле, которое в каждой точке характеризуется вектором, т.е. каждой точкой M ∈ Ω ставится в соответствие по известному закону некоторый вектор

Таким образом, векторное поле задается с помощью векторной функции

Пусть задана система координат O_xyz и поле векторной величины поскольку каждый вектор полностью определяется своими координатами (P, Q, R), то векторная функция может быть реализована путем задания её проекций на оси: P(x, y, z); Q(x, y, z); R(x, y, z)

Причем каждая проекция по сути есть функция 3^х переменных

Считается, что эти функции имеют непрерывные частные производные

При изучении векторного поля важную роль играет понятие

• Векторная линия – кривая, направления которой в каждой точке M совпадает с направлением вектора , отвергающей этой точке.

Векторная линия характеризуется равенством:

Мы уже имели дело с вектор-функцией, когда рассматривали криволинейные интегралы

Если , то вся рассматриваемая область Ω заполнена векторными линиями, причем:

• Через каждую точку ∊ Ω проходит одна и только одна линия

• Векторными линии между собой не пересекаются

В физике, особенно при рассмотрении силовых полей (электрическое, магнитное и др.) векторные линии называют силовыми линиями поля

2. Градиент.

• Вектор , определенный данным соотношением, называется градиентом, скалярного поля u(M) в точке M

• Градиет скалярного поля есть инвариант этого поля

Т.е. градиент не зависит от выбора систем координат

В тоже время, если скалярное поле u(M) задано в некоторой системе координат, т.е. M(x,y,z) => u(x,y,z), вектор в данной с.к. задается координатами , и введя единичные орты для данной С.К, получим для градиента выражение:

Важно: Если скалярное поле u(M), заданное в области Ω, дифференцируемо в этой области, то градиент grad u этого поля определен в каждой точке Ω и представляет собой векторное поле, заданное в Ω

Свойства градиента:

Пусть в области Ω заданны два дифференцируемых поля u(M) и v(M), тогда:

1. 

2. 

3. 

3. Дивергенция векторного поля.

Согласно формуле Остроградского-Гаусса поток вектора через поверхность (s) можно преобразовать в тройной интеграл:

• Выражение, стоящее под знаком тройного интеграла называется дивергенцией вектора в точке M

• Дивергенция есть скаляр, но ее определение связано с выбором координатной системы (заданной ортонормированного базиса )

Формально, дивергенцию можно представить как скалярное произведение двух векторов:

Таким образом векторное поле порождает скалярное поле чтобы понять возьмем точку M и окружность объемом (v) с поверхностью (S) тогда можно записать:

Разделим обе части на V и перейдем к пределу “стягивая” тело (v) в точку M, получим: дивергенция определена в каждой точке Ω, т.е. имеет скалярное поле

4. Циркуляция (ротор) векторного поля.

Рассмотрим теперь некоторую кривую (l) в рассматриваемой области Ω.

Интеграл, взятый по этой кривой: называется линейным интегралом от вектора вдоль кривой (l)

• В случае замкнутой кривой, этот интеграл называют циркуляцией вектора вдоль (l).

Пример: если – силовое поле, то есть работа сил поля при перемещении точки по кривой

Применим формулу Стонкса, т.е. пусть кривая (l) ограничивает некоторую поверхность (S), тогда циркуляцию вектора может быть выражена через поверхностный интеграл:

Т.е. мы получим некоторый вектор, имеющий координаты (проекции на оси):

• Данный вектор называется ротором вектора (или вихрем)

Имеем

Ротор — это вектор!!!

Поскольку в формуле Стокса направление обхода и сторона поверхности (задаваемая нормалью) должны соответствовать друг другу, в векторной форме она запишется в виде:

Циркуляция вектора вдоль замкнутого контура равна потоку ротора вектора через поверхность, ограниченную контуром

Следовательно, векторное поле порождает векторное поле ротора

5. Оператор Лапласа.

Пусть в области Ω 3^х мерного Евклидого пространства задано скалярное поле u(M), и все частные производные функции u(M) до второго порядка включительно непрерывны.

i, j, k – единичные орты пространства.

Тогда есть дифференцируемое векторное поле в Ω.

Вычислим

Основная, достаточно широко используемая операция теории поля, это:

Называют Оператор Лапласа(Лапласиан)

1. 1-22 Первообразная – Первообразной называют такую функцию F (x), по отношению к которой исходная функция f(x) является производной .

2. Неопределённый интеграл – Выражение называется неопределённым интегралом f (x) и обозначает

Правила интегрирования:

1. Если – постоянная ,то (постоянная выноситься за знак интеграла )

2. (интеграл суммы двух или более равен сумме инетгралов) F(x) ± G(x) + C (C= C1+C2)

3. подынтегральной функции

4. подынтегральному выражению

5. Неопределённый интеграл от дифференциала некоторой функции равна сумме этой функции и постоянной

6. Свойство инвариантности неопределённого интеграла то

3. Интегрирование по частям – Пусть имеются две функции v(x) и u(x) имеющие непрерывные производные, то по правилу дифференцирования произведение имеем d(u*v) = udv + vdu, udv= d(u*v) + vdu возьмём интеграл и получим формулу ( ) использование этой формулы является интегрированием по частям

4. Интегрирование путём замены переменных – Этот метод заключается в замене сложного выражения или некоторой функции какой-либо переменной.

5. Общая формула интегрирование по частям -Предположим, что функции u {\displaystyle u}г\ъuи v {\displaystyle v} в рассматриваемом промежутке X {\displaystyle {\mathcal {X}}}xXXsdfdsad обладают непрерывными производными всех порядков, до (n+1) {\displaystyle (n+1)}((9-го включительно, Тогда имеет место следующая формула

6)Интегрирование рациональных выражений – Вначале рассмотрим простые дроби у которых знаменатель раскладывается на множители, всего их существует четыре вида:

А)

Б)

В)

Г)

Где a p q M N A – вещественные числа

А

= A

Б

В

Г

7)

8) Свойства интегрируемых функций:

А) Если функция f(x) непрерывна в промежутке [a,b], то она интегрируема в этом промежутке.

Б) Если ограниченная функция f(x) в [a,b] имеет лишь конечное число точек разрыва, то она интегрируема (Критерий Лейбница)

В) Монотонная ограниченная функция f(x) всегда интегрируема

Г) Если функция f(x) интегрируема в промежутке [a,b] то и функция |f(x)| и r*f(x) интегрируема в этом промежутке

Д) Адаптивность: Если две функции f(x) и g(x) интегрируемы в промежутке [a,b] то их сумма, разность и произведение также интегрируемы

Е) Если функция f(x) интегрируема в промежутке [a,b], то она интегрируема и в любой части [A,B] c [a,b] этого промежутка. Наоборот если данный промежуток разложен на части, и в каждой из них функция интегрируема то она интегрируема и во всём промежутке [a,b]

Ё)Если изменить значение интегрируемой функции в конечном числе точек, то её интегрируемость не разрушиться.

9) Свойства определённых интегралов:

А) Если f(x) интегрируема в промежутке [b,a] то в промежутке [a,b] мы имеем

Б) Пусть f(x) интегрируема в наибольшем из промежутков [a,b],[a,c],[c,b] тогда она интегрируема в двух других и имеет равенство

1. Если a <c<b равенство очевидно

2. Если b<a<c имеем

В) Если f(x) интегрируема в промежутке [a,b] то и r*f(x) интегрируема в этом промежутке

Г) Если f(x) g(x) интегрируемы в промежутке [a,b] то f(x) ± g(x) интегрируема в этом промежутке

Д) Если функция f(x) интегрируема в промежутке [a,b] неотрицательна и a<b то интеграл этой функции положителен или равен нулю

Е) Если две функуии f(x) и g(x) интегрируемы в промежутке [a,b] и всегда f(x)<=g(x) или f(x)<g(x) то если a<b

Ё) Пусть функция f(x) интегрируема на промежутке [a,b] u a<b, тогда имеет место неравенство

Ж) Пусть f(X) интегрируема в [a,b] и пусть во всём этом промежутке m≤f(x)≤M

Тогда

10) интеграл с переменным верхним пределом

Пусть функция f(x) интегрируема на промежутке [a,b] тогда она интегрируема и в промежутке [a,t] где t € [a,b] где t любое число из промежутка.

F(x) =

11) Формула Ньютона-Лейбница - даёт соотношение между операциями взятия определенного интеграла и вычисления первообразной.

12) Формулы вычисления определенного интеграла

 формулы Ньютона-Лейбница:

Интегрирование по частям

Замена переменной в определенном интеграле

Пусть функция φ(t) имеет непрерывную производную на отрезке [α,β], а=φ(α), в=φ(β) и функция f(х) непрерывна в каждой точке х вида х=φ(t), где t [α,β].

Тогда справедливо следующее равенство:

13) Геометрические приложения интеграла

Основными геометрическими приложениями определенного интеграла являются: вычисление площади плоской фигуры, вычисление объемов тел вращения вокруг осей координат и вычисление длины дуги плоской кривой.

14) Свойства двойного интеграла

Постоянный множитель может быть вынесен за знак двойного интеграла

Линейность

Интеграл от единичной функции по области

Интегрирование неравенств

15) Вычисление двойных интегралов сведением к повторным

16) Понятие интегралов высшей кратности.

????

17) Замена переменных в кратных интегралах.

18) Переход к сферическим и цилиндрическим координатам

19) Формула Грина.

20) Следствия формулы Грина. Независимость криволинейного интеграла от пути интегрирования.

????

21) Формула Стокса

22) Формула Остроградского – Гаусса

Фо́рмула Гаусса —Остроградского связывает поток непрерывно-дифференцируемого векторного поля через замкнутую поверхность и интеграл от дивергенции этого поля по объёму, ограниченному этой поверхностью.

Формула применяется для преобразования объёмного интеграла в интеграл по замкнутой поверхности и наоборот.

2.1-2.8 2.1 Несобственные интегралы с бесконечным пределом 2.2 Признак сходимости Коши несобственных интегралов. Абсолютная сходимость. Признаки сравнения. Несобственный интеграл  f(x)dx сходится тогда и только тогда, когда для любого   > 0 существует такое  , что для всех  ' и  ", удовлетворяющих условию  <  ' < b,       <  "< b, выполняется неравенство

f(x)dx  <  Согласно критерию Коши существования предела функции для существования указанного предела необходимо и достаточно, чтобы для любого   > 0 нашлось такое  , что если   <  ' < b,   <  "< b, то | ( ') -  ( ")| дополнение к признаку сходимости Коши

1. Признаки сравнения. Абсолютная сходимость. Пусть функция  f(x)  интегрируема на полубесконечном интервале  [A, ∞). Если наряду с интегралом     сходится и интеграл   , то интеграл     называется абсолютно сходящимся. Говорят также, что функция  f(x)  абсолютно интегрируема на промежутке  [A, ∞).

2. Пусть функция  f(x)  абсолютно интегрируема на промежутке  [A, ∞). Если функция  g(x)  ограничена на этом промежутке, то и произведение   является абсолютно интегрируемой функцией на промежутке  [A, ∞).

3. Если функция  f(x)  абсолютно интегрируема на промежутке  [A, ∞)  и  | g(x) | ≤ | f(x) |, то и функция  g(x)  абсолютно интегрируема на промежутке  [A, ∞).

2-3. Признак Дирихле 2-4. Признак Абеля 2-5. Несобственные интегралы от неограниченной функции. Теорема об интегрируемости неограниченных функций. 2.6 Равномерная сходимость. Cвойства 2-7. Собственные интегралы с параметрами. Предельный переход под знаком интеграла. 2-8 Интегрирование по параметру Дифференцируемость по параметру Вопросы к мат анализу 2.9 – 3.5

2.9

Несобственный интеграл называется равномерно сходящимся по параметру у на отрезке (с, d), если он сходится на этом отрезке и для любого е > 0 можно указать такое А ^ а, зависящее только от е, что для всех В > А и для всех у из отрезка (с, d) выполняется неравенство Имеет место следующий критерий Коши равномерной сходимости несобственных интегралов, зависящих от параметра.

+∞ 0∫e^-x cosxy dx

сходится равномерно по параметру у на интервале (−∞,+∞)=R(−∞,+∞)=R.

Для любого ε>0 существует b′=ln2ε такое, что для любого ξ∈[b′,+∞) и любого y∈Y выполняется неравенство

∣∫ξ+∞e−xcosxy dx∣≤∫ξ+∞e−x dx=e−ξ≤e−b′=ε2<ε.