матанализ 1 курс 2 семестр Малышкин / Матан семестр 2 модульная работа 2 2022 пример решением

x2 + 2x + y2 + 2 y = 0, y 0

(x + a)2 = x2 + 2ax + a2 , a =1

x2 + 2x +1−1+ y2 + 2 y +1−1 = 0, y 0

(x +1)2 + ( y +1)2 = 2, y 0

2 cos −1

x =

y =

sin −1, 0 2

2

sin −1 0 sin

1

3

2

2

4

4

x = − 2 sin

y =

2 cos

sin2 =

1− cos(2 )

, cos2 =

1+ cos(2 )

2

2

3

= 4

(2sin2 − 2

sin +1)(−

sin )d =

2

2

4

3

= 4

(−2

sin3 + 4sin2 −

sin )d = −4 + 2 / 3 + + 2 − 2 = −

10

2

2

3

4

3

3

4

(−2

sin3 )d = 4 (−2

(1− cos2 )sin )d =

2

2

4

4

3

= 4 (−2

(1− cos2 ))d (−cos ) =

2

4

3

1

3

4

2

2

1 2

1 2

2

=

2

2 cos −

cos

= 2

2 −

−

+

+

= −4 +

3

2

3

2 3 4 3 4

4

3

3

4

(

4 sin2 )d = 4

2 (1− cos(2 ))d =

4

4

3

3

− sin

3

= + 2

= (2 − sin(2 ))

4

=

−

+ sin

4

2

2

2

2

3

3

4

(−

2

sin )d =

2 cos

4

= −2

4

4

№4 Вычислить

3z sin(2x + y + z)ds , где A(3,1,2), B(3,4,5).

AB

Решение:

→

M (t) = A + AB t, 0 t 1: M (0) = A, M (1) = B

→

AB

= (3

−3, 4 −1,5 − 2) = (0,3,3)

x(t)

3

0

y(t) =

1

+

3

t

2

3

z(t)

= 0

x(t) = 3 + 0 t = 3 x (t)

y(t) =1+ 3t

= 3

, y (t)

z(t) = 2 + 3t

= 3

z (t)

ds = x (t) 2 + y (t) 2 + z (t) 2 dt =

dt = 3

dt

9 + 9

2

3z sin(2x + y + z)ds = 1

3(2 + 3t )sin(6 +1+ 3 t+ 2 + 3 t)3

2dt =

AB

0

= 9

1 (2 + 3t )sin(9 + 6 t)dt =

2

0

1

1

1

1

=

9 2 (2 + 3t )

−

cos(9 + 6 t)

−

9

2 3

−

cos(9

+ 6 t)

dt =

6

6

0

0

1

1

1

27

2

=

9 2 (2 + 3t )

−

cos(9 + 6 t)

+

sin(9

+ 6 t)

=

6

36

0

0

1

27 2

1

27 2

=

45 2

−

cos(15)

+

sin(15) −18 2

−

cos(9)

−

sin(9)

6

36

6

36