1 курс / 1 курс 2 семестр / Теория_вероятностей_7_22_лекц_1К

Теория вероятностей и математическая статистика

Вывод: Зная лишь математическое ожидание

случайной величины, нельзя судить ни о том, какие возможные значения она может принимать, ни о том, как они рассеяны вокруг математического ожидания.

Таким образом, математическое ожидание не

характеризует полностью случайную величину.

61

Теория вероятностей и математическая статистика

Для того чтобы оценить, как рассеяны возможные

значения случайной величины вокруг ее математического ожидания, пользуются, в частности, числовой характеристикой, которую называют

62

Теория вероятностей и математическая статистика

Прежде чем перейти к определению и свойствам

дисперсии, введем понятие отклонения случайной величины от ее математического ожидания.

63

Теория вероятностей и математическая статистика

6.5. Отклонение случайной величины от ее математического ожидания

Пусть X — случайная величина и М(X) — ее математическое ожидание.

Рассмотрим в качестве новой случайной величины

разность X — М(X). Эту разность называют

отклонением.

64

Теория вероятностей и математическая статистика

Отклонением называют разность между случайной величиной и ее математическим ожиданиям.

X — М(X).

65

Теория вероятностей и математическая статистика

Пусть закон распределения случайной величины X известен:

Напишем закон распределения отклонения

66

Теория вероятностей и математическая статистика

Для того чтобы отклонение приняло значение x1 – М(X), достаточно, чтобы случайная величина приняла значение x1.

Вероятность события, заключающегося в том, что случайная величина примет значение x1, равна р1; следовательно, и вероятность того, что отклонение примет значение x1 -М(Х), также равна р1.

Аналогично обстоит дело и для остальных возможных значений отклонения.

67

Теория вероятностей и математическая статистика

Таким образом, отклонение имеет следующий закон распределения:

Приведем важное свойство отклонения.

68

Теория вероятностей и математическая статистика

Теорема. Математическое ожидание отклонения равно нулю:

М[Х — М(Х)] = 0.

69

Теория вероятностей и математическая статистика

Пример 1. Задан закон распределения дискретной случайной величины X :

Убедимся, что математическое ожидание отклонения равно нулю.

70