1 курс / 1 курс 2 семестр / Теория_вероятностей_7_22_лекц_1К
.pdf
Теория вероятностей и математическая статистика
Аналогично математические ожидания числа попаданий при втором и третьем выстрелах: М(X2) = 0,3, М(X3) = 0,6.
Общее число попаданий есть также случайная величина, состоящая из суммы попаданий в каждом из трех выстрелов: X=X1+X2+X3.
Искомое математическое ожидание находим по теореме о математическом ожидании суммы: M(X) = M(X1+X2+X3) = M(X1)+M(X2)+M(X3) = 0,4 + 0,3 + 0,6 = 1,3* (попаданий).
*математическое ожидание может быть любым (это
не вероятность). |
51 |
Теория вероятностей и математическая статистика
Пример 4. Найти математическое ожидание суммы числа очков, которые могут выпасть при бросании двух игральных костей.
52
Теория вероятностей и математическая статистика
Пример 3. Найти математическое ожидание суммы числа очков, которые могут выпасть при бросании двух игральных костей.
Решение. Обозначим число очков, которое может выпасть на первой кости, через X и на второй — через Y.
Возможные значения этих величин одинаковы и равны 1, 2, 3, 4, 5 и 6 , причем вероятность каждого из этих значений равна 1/6.
53
Теория вероятностей и математическая статистика
Найдем математическое ожидание числа очков, которые могут выпасть на первой кости:
M(Х) = 1 (1/6) + 2 (1/6) + 3 (1/6) + 4 (1/6) + 5 (1/6) + 6 (1/6) = 7/2.
Очевидно, что и М(Y) = 7/2.
Искомое математическое ожидание
M(X + Y) = M(X) + M(Y) = 7/2 + 7/2 = 7.
54
Теория вероятностей и математическая статистика
6.4. Математическое ожидание числа появлений события в независимых испытаниях
Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А постоянна и равна р (биномиальное распределение).
Найдем математическое ожидание числа появлений события А в этих испытаниях.
55
Теория вероятностей и математическая статистика
Теорема. Математическое ожидание М(X) числа
появлений события А в n независимых испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в каждом испытании:
М(Х) = n р.
56
Теория вероятностей и математическая статистика
Пример 1. Вероятность попадания в цель при стрельбе из орудия р = 0,6. Найти математическое ожидание общего числа попадай если будет произведено 10 выстрелов.
57
Теория вероятностей и математическая статистика
Пример 1. Вероятность попадания в цель при стрельбе из орудия р = 0,6. Найти математическое ожидание общего числа попадай если будет произведено 10 выстрелов.
Решение. Попадание при каждом выстреле не зависит от исходов других выстрелов, поэтому рассматриваемые события независимы и, следовательно, искомое математическое ожидание
М(Х)= n р = 10 0,6 = 6 (попаданий).
58
Теория вероятностей и математическая статистика ВАЖНОЕ ЗАМЕЧАНИЕ.
Случайные величины могут иметь одинаковые
математические ожидания, но различные возможные значения.
59
Теория вероятностей и математическая статистика
Рассмотрим, дискретные случайные величины X и У, заданные следующими законами распределения:
Х |
-0,01 |
0,01 |
|
|
|
р |
0,5 |
0,5 |
|
|
|
Y |
-100 |
100 |
|
|
|
р |
0,5 |
0,5 |
|
|
|
Найдем математические ожидания этих величин:
М(Х) = - 0,01 0,5 + 0,01 0,5 = 0, М(Y) = -100 0,5 + 100 0,5 = 0.
Здесь математические ожидания обеих величин одинаковы, а возможные значения величин различны, причем X имеет возможные значения, близкие к математическому ожиданию, а У — далекие от своего математического ожидания.
60