1 курс / 1 курс 2 семестр / Теория_вероятностей_7_22_лекц_1К

Теория вероятностей и математическая статистика

Случайные величины X и Y независимые, поэтому искомое математическое ожидание

M(XY) = M(X)M(Y) = 4,4 7,4 = 32,56.

41

Теория вероятностей и математическая статистика

ВАЖНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ.

Определим сумму случайных величин X и Y как случайную величину Х + Y, возможные значения которой равны суммам каждого возможного значения X с каждым возможным значением Y.

Вероятности возможных значений Х + Y для независимых величин X и Y равны произведениям вероятностей слагаемых; для зависимых величин — произведениям вероятности одного слагаемого на условную вероятность второго.

42

Теория вероятностей и математическая статистика

ВАЖНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ.

Заметим, что некоторые суммы х + у могут оказаться равными между собой.

В этом случае вероятность возможного значения суммы равна сумме соответствующих вероятностей.

Например, если х1 + у2 = х3 + у5 и вероятности этих возможных значений соответственно равны и р12 и р35 то вероятность х1 + х2 (или, что то же, х3 + y5) равна р12 +

р35.

43

Теория вероятностей математическая статистика

Пример 2. Даны две независимые дискретные случайные величины X и Y:

Найти закон распределения вероятностей суммы величин X + Y.

44

Теория вероятностей математическая статистика

Возможные значения xij суммы дискретных случайных величин X + У определяются как xij = xi + yj , a соответствующие вероятности как произведение

Рij = pi pj = P(X=xi) P(Y=yj).

x1 +y1 = 1+3 = 4. p11 = 0,5 0,3 = 0,15. x1 +y2 = 1+4 = 5. p12 = 0,5 0,7 = 0,35.

x2 +y1 = 2+3 = 5. p21 = 0,5 0,3 = 0,15. p(5) = 0,5 x2 +y2 = 2+4 = 6. p22 = 0,5 0,3 = 0,15.

Тогда правильным будет ответ:

Теория вероятностей и математическая статистика

Следующее свойство справедливо как для

независимых, так и для зависимых случайных величин.

Свойство 4. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых:

M(X+Y) = M(X) + M(Y).

46

Теория вероятностей и математическая статистика

Следствие. Математическое ожидание суммы нескольких случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых.

Например, для трех слагаемых величин имеем:

M(X+Y+Z) = M(X) + M(Y) + M(Z).

47

Теория вероятностей и математическая статистика

Пример 3. Производится три выстрела с вероятностями попадания в цель, равными р1 = 0,4; р2 = 0,3 и р3 = 0,6. Найти математическое ожидание общего числа попаданий.

48

Теория вероятностей и математическая статистика

Пример 3. Производится три выстрела с вероятностями попадания в цель, равными р1 = 0,4; р2 = 0,3 и р3 = 0,6. Найти математическое ожидание общего числа попаданий.

Решение. Число попаданий при первом выстреле есть случайная величина Х1, которая может принимать только два значения: 1 (попадание) с вероятностью р1 = 0,4 и 0 (промах) с вероятностью q=1 — 0,4 = 0,6.

Математическое ожидание числа попаданий при первом выстреле* равно вероятности попадания, т.е.

М(X1) = 0,4.

*

49

Теория вероятностей и математическая статистика

Аналогично математические ожидания числа попаданий при втором и третьем выстрелах: М(X2) = 0,3, М(X3) = 0,6.

Общее число попаданий есть также случайная величина, состоящая из суммы попаданий в каждом из трех выстрелов: X=X1+X2+X3.

Искомое математическое ожидание находим по теореме о математическом ожидании суммы: M(X) = M(X1+X2+X3) = M(X1)+M(X2)+M(X3) = 0,4 + 0,3 + 0,6 = 1,3 (попаданий).

50