1 курс / 1 курс 2 семестр / Теория_вероятностей_7_22_лекц_1К

Теория вероятностей и математическая статистика

6.2. Вероятностный смысл математического ожидания

Пусть произведено n испытаний, в которых случайная величина X приняла m1 раз значение х1, m2 раз значение

x2, ... , mk раз значение xk, причем m1 + m2 + ... + mk = n.

Тогда сумма всех значений, принятых X, равна

x1m1 + x2m2 +…+ xkmk .

31

Теория вероятностей и математическая статистика

Найдем среднее арифметическое всех значений, принятых случайной величиной, для чего разделим найденную сумму на общее число испытаний:

= (x1m1 + x2m2 +…+ xkmk)/n,

или

= x1(m1/n) + x2(m2/n) +…+ xk(mk/n). (*)

Теория вероятностей и математическая статистика

Заметив, что отношение m1/n — относительная частота W1 значения х1, m2/n — относительная частота W2 значения x2, и т. д., запишем соотношение (*) так:

33

Теория вероятностей и математическая статистика

Нам известно, что если число испытаний достаточно велико, то относительная частота приближенно равна вероятности появления события:

W1 p1, W2 p2, ...., Wk pk.

вероятностями, получим

x1p1 + x2p2 + ... + xkpk.

34

Теория вероятностей и математическая статистика

x1p1 + x2p2 + ... + xkpk.

Правая часть этого приближенного равенства есть М(X). Итак,

М(Х).

Вероятностный смысл полученного результата таков:

математическое ожидание приближенно равно среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины (тем точнее, чем больше число испытаний).

35

Теория вероятностей и математическая статистика

На числовой оси возможные значения случайной величины расположены слева и справа от математического ожидания, поэтому математическое

ожидание часто называют центром распределения случайной величины.

36

Теория вероятностей и математическая статистика

6.3. Свойства математического ожидания

Свойство 1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной величине:

М(С) = С.

37

Теория вероятностей и математическая статистика

Свойство 2. Постоянный множитель С можно выносить за знак математического ожидания:

М(СХ) = СМ(Х).

38

Теория вероятностей и математическая статистика

Свойство 3. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:

М(ХY) = M(X)М(Y).

Для трех случайных величин имеем:

V(ХYZ) = М(X)М(Y)М(Z).

Свойство справедливо и для произвольного числа случайных величин.

39

Теория вероятностей и математическая статистика

Пример 1. Независимые случайные величины X и Y заданы следующими законами распределения:

Найти математическое ожидание случайной величины ХУ.

Решение. Найдем математические ожидания каждой из данных величин:

M(X) = 5 0,6 + 2 0,1 + 4 0,3 = 4,4;

М(Y) = 7 0,8 + 9 0,9 = 7,4.

40