6. Дифференциальное уравнение системы. Поясните суть стандартной формы дифференциального уравнения системы регулирования
Как строятся модели?
Во-первых, математические модели могут быть получены теоретически из законов физики (законы сохранения массы, энергии, импульса). Эти модели описывают внутренние связи в объекте и, как правило, наиболее точны. Рассмотрим RLC-цепочку, то есть последовательное соединение резистора с сопротивлением R (в омах), катушки индуктивности с индуктивностью L и конденсатора с ёмкостью C. Она может быть описана с помощью двух уравнений:
Порядок составления дифференциального уравнения динамического звена
Порядок составления дифференциального уравнения звена:
1. Определяют входную (-ые) и выходную (-ые) величины (координаты) звена и устанавливают дополнительные факторы, от которых зависит выходная величина.
2. Используя основные законы той отрасли науки и техники, к которой относится исследуемое звено:
законы Кирхгофа для электрических звеньев;
законы Ньютона для звеньев механической природы;
законы сохранения энергии и вещества для гидравлических и пневматических звеньев, составляют математическое описание звена в форме дифференциального уравнения.
3. Вводят те или иные упрощающие предположения (допущения) с целью упрощения исходного математического описания.
4. При необходимости осуществляют линеаризацию полученного дифференциального уравнения с целью получения линейного дифференциального уравнения звена.
Стандартная форма записи дифференциальных уравнений. Передаточные функции систем регулирования
Процессы в линейных системах автоматического регулирования и их элементах обычно описываются дифференциальными уравнениями. При этом члены, содержащие выходную величину y и её производные, записываются в левой части уравнения, а воздействия x и их производные, и cf (величины, учитывающие внутренние параметры и возмущающее воздействие) – в правой:
(2.1)
Здесь
,
и
–
коэффициенты (параметры) уравнения. В
большом числе случаев их можно принять
постоянными. В тех случаях, когда они
изменяются во времени, а скорость этого
изменения соизмерима со скоростью
процессов управления в системе, то эту
систему принято называть нестационарной,
или системой с переменными параметрами.
Уравнение (2.1) системы регулирования удобно представить в символической (операторной) форме, заменив символ дифференцирования оператором p:
тогда
.
(2.2)
Разделив все члены полученного уравнения
на коэффициент
при выходной переменной y,
получим стандартную форму дифференциального
уравнения системы регулирования:
(2.3)
Здесь
;
.
Многочлен, стоящий в скобках при выходной
переменной y,
принято называть собственным
(характеристическим) оператором, а при
входной величине x
– входным оператором, или оператором
воздействия. Коэффициенты
,
имеющие размерность времени, называют
постоянными времени.
Операция замены
носит название алгебраизации
дифференциального уравнения (2.1). В
линейных системах с постоянными
параметрами звеньев она формально
соответствует преобразованию Лапласа,
в котором функции
,
заданной во времени t и
называемой оригиналом, ставится в
соответствие функция
комплексной переменной p,
определенная интегралом
и называемая изображением функции по Лапласу.