18. Общий метод составления дифференциальных уравнений и передаточные функции систем автоматического управления.

Порядок составления дифференциального уравнения динамического звена

Порядок составления дифференциального уравнения звена:

1. Определяют входную (-ые) и выходную (-ые) величины (координаты) звена и устанавливают дополнительные факторы, от которых зависит выходная величина.

2. Используя основные законы той отрасли науки и техники, к которой относится исследуемое звено:

 законы Кирхгофа для электрических звеньев;

 законы Ньютона для звеньев механической природы;

 законы сохранения энергии и вещества для гидравлических и пневматических звеньев, составляют математическое описание звена в форме дифференциального уравнения.

3. Вводят те или иные упрощающие предположения (допущения) с целью упрощения исходного математического описания.

4. При необходимости осуществляют линеаризацию полученного дифференциального уравнения с целью получения линейного дифференциального уравнения звена.

Стандартная форма записи дифференциальных уравнений. Передаточные функции систем регулирования

Процессы в линейных системах автоматического регулирования и их элементах обычно описываются дифференциальными уравнениями. При этом члены, содержащие выходную величину y и её производные, записываются в левой части уравнения, а воздействия x и их производные и cf – в правой:

(2.1)

 

Здесь , и – коэффициенты (параметры) уравнения. В большом числе случаев их можно принять постоянными. В тех случаях, когда они изменяются во времени, а скорость этого изменения соизмерима со скоростью процессов управления в системе, то эту систему принято называть нестационарной, или системой с переменными параметрами.

Уравнение (2.1) системы регулирования удобно представить в символической (операторной) форме, заменив символ дифференцирования оператором p:

тогда

. (2.2)

Разделив все члены полученного уравнения на коэффициент при выходной переменной y, получим стандартную форму дифференциального уравнения системы регулирования:

(2.3)

 

Здесь

; .

 

Многочлен, стоящий в скобках при выходной переменной y, принято называть собственным (характеристическим) оператором, а при входной величине x – входным оператором, или оператором воздействия. Коэффициенты , имеющие размерность времени, называют постоянными времени.

Операция замены носит название алгебраизации дифференциального уравнения (2.1). В линейных системах с постоянными параметрами звеньев она формально соответствует преобразованию Лапласа, в котором функции , заданной во времени t и называемой оригиналом, ставится в соответствие функция комплексной переменной p, определенная интегралом

и называемая изображением функции по Лапласу.

Передаточная функция

Важной, очень удобной в практических приложениях характеристикой, компактно описывающей динамические свойства звена (или системы), является передаточная функция звена (или системы), определяемая как отношение изображений выходной переменной ко входной , взятое при нулевых начальных условиях:

В частности, для системы регулирования, описываемой уравнением (2.3), можно записать выражение для изображения выходной переменной:

Здесь

и

 

– передаточные функции системы регулирования по каналам «входной сигнал – выходная переменная » и «возмущение – выходная переменная ». Напомним, что уравнения (2.1) и (2.2) адекватны только при нулевых начальных условиях.