2.2. Распределение Ферми

Распределение Ферми описывает вырожденные системы частиц и учитывает принцип Паули.

Распределение Ферми (без вывода):

- функция Ферми – указывает на то, занято или нет квантовое состояние с энергией Е.

E_F – уровень Ферми или «химический потенциал вещества» - характерная для каждого вещества величина энергии. Определяется числом электронов на верхних энергетических уровнях.

, т.е. dN ≤ dS, значит число электронов в этом распределении меньше числа уровней при данном значении Е, т.е. статистика Ферми удовлетворяет принципу Паули.

То, что электронный газ не подчиняется статистике Максвелла в ряде веществ, например, в металлах, поскольку число электронов соизмеримо с числом возможных квантовых состояний для данных значений энергии, называется «вырождением» электронного газа.

Если E-E_F >> kT, то >> 1 и 1 можно пренебречь, тогда распределение Ферми перейдет в распределение Максвелла

.

При T=0 график функции Ферми имеет вид (рис. 6):

E < E_F f(E)= 1

E > E_F f(E)= 0

П ри Т = 0 все квантовые состояния с энергией Е < Е_F заняты, а остальные свободны.

П ри Т > 0 – происходит расплывание правой границы – появляются электроны на более высоких энергетических уровнях, чем Е_F, правда эта размытость мала - порядка kT, т.е. 0,1 эВ, тогда как Е_F – несколько эВ. (рис. 7, синяя линия Т=300 К, красная – при большей температуре).

В металле Е_F – энергия верхнего заполненного электронами квантового уровня при Т = 0, т.е. для металла E_F=E_max|_T=0

Е сли Е = Е_F, то - т.е. Е_F – энергия, при которой плотность заполнения квантовых состояний равна ½. (рис.7).

Уровень Ферми свой для каждого вещества. Если при Т = 0 в вещество попадают электроны, они заполнят квантовые уровни до какой-то границы. Эта граница, этот верхний заполненный уровень в металле и называется уровнем Ферми.

Если два тела находятся в контакте, а вся система в тепловом равновесии, то Е_F должно иметь одинаковые значения для обоих тел, т. е. уровни Ферми соприкасающихся тел выравниваются.

Действительно, если Е_F для тела А меньше, чем для тела В, то электроны будут переходить из В в А, тогда А зарядится отрицательно, а В положительно, и энергии всех зон в В понизятся, а в А – повысятся, пока Е_F в А и В не сравняются.

Нам необходимо определить число электронов с энергией в пределах от Е до Е + dE, т.е. dN в зависимости от Е. Для этого надо определить dS в зависимости от Е, т.е. распределение квантовых состояний по энергиям.

мы уже знаем, осталось найти dS.

Распределение по энергиям:

, отсюда

- число квантовых состояний в единице объема с энергиями от Е до Е + dЕ.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

Рассмотрение систем частиц невозможно без знания устройства атома, потенциальных барьеров и ям, принципа Паули и прочих выводов о строении атома. Но, с другой стороны, знание устройства атома несет только мировозренческий и чисто теоретический подход к устройству мира, когда рассмотрение систем частиц показывает реальное поведение элементарных частиц в веществах, конечно же, с учетом принципа неопределенности.

Если квантовая механика является скорее подкрепляющей и мировоззренческой наукой, то статистическая физика раскрывает вполне используемые на практике законы. Статистическая физика позволила объяснить и количественно описать сверхпроводимость, сверхтекучесть, турбулентность, коллективные явления в твёрдых телах и плазме, структурные особенности жидкостей. Она лежит в основе современной астрофизики. Именно статистическая физика позволила создать такую интенсивно развиваемую науку как физика жидких кристаллов и построить теорию фазовых переходов и критических явлений. Многие экспериментальные методы исследования вещества целиком базируются на статистическом описании системы. К ним относятся, прежде всего, рассеяние холодных нейтронов, рентгеновских лучей, видимого света, корреляционная спектроскопия и т. д.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ:

1. Конспект лекций по дисциплине «КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА И СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА» - ЛЭТИ.

14