2. Примеры систем частиц

Р ассматривая решение уравнения Шредингера для двух потенциальных ям, фактически являющейся простейшей системой из двух ядер, например, водорода, мы уже говорили, что при сближении атомов уровни энергии расщепляются, и при большом числе атомов мы получим практически непрерывный спектр уровней, которые будут заполнены электронами.

Ч исло уровней больше, чем число электронов и уровни заполнены лишь частично, т.е. заполнены все уровни снизу и до определенной границы Е_max, где Е_max – энергия самого высокого заполненного уровня. Распределение электронов по энергиям в такой системе определяется статистикой Ферми.

Электрон в металле можно считать покоящимся в трехмерной потенциальной яме. В пределах твердого тела поле ионов можно заменить некоторым средним полем с постоянным потенциалом. Поле создают N ионов и N – 1 электронов, где N – число атомов вещества.

На границе вещества происходит скачок потенциала. Если полная энергия электрона выше U₀, то он вылетит за пределы вещества. Но электроны не вылетают, т.е. лежат на низких уровнях и заполняют их до Е_max.

Наиболее слабо связаны с ядрами внешние, валентные электроны, они и осуществляют электропроводность металла, т.е. могут электрическим полем отрываться от ядра и перемещаться по металлу. Они занимают верхние энергетические уровни и в совокупности называются «электронами проводимости» или электронным газом.

Но хотя они и распространяются по всему телу, они ограничены в своем движении его границами, кроме того, на каждом энергетическом уровне может быть не более 2х электронов с разными спинами (уровни с разными спинами практически не отличаются по энергиям). Поэтому электронный газ – условно свободный, в отличие от свободного газа классической физики (обычного газа), и не подчиняется статистике Максвелла.

Статистика Максвелла считает, что вероятность нахождения частицы в определенном состоянии не зависит от наличия других частиц в этом состоянии.

3. Общий подход к распределениям электронов

Распределение частиц по энергиям, выведенное с учетом их столкновений и обмена энергиями, записывается в виде:

,

где dN – число частиц в единице объема, полная энергия которых заключена в пределах от Е до Е + dE ;

dS – число квантовых состояний у частиц в единице объема, имеющих энергию в пределах от Е до Е + dE ;

f(E) – функция распределения частиц по энергиям;

- плотность заполнения квантовых состояний частицами.

f(E) имеет различный вид в зависимости от того, учитывается принцип Паули или нет, т.е. различный вид для статистик Максвелла и Ферми. Распределение f(E) устанавливается за счет обмена энергиями и импульсами частиц при их столкновениях между собой.

РАСПРЕДЛЕНИЯ МАКСВЕЛЛА И ФЕРМИ

2.1. Распределение Максвелла

Забегая вперед, стоит сразу сказать, что распределение Максвелла может быть выведено из распределения Ферми при указании некоторых условий. Оба распределения имеют вид, связанный с общим подходом к распределению электронов.

Распределение Максвелла описывает невырожденные системы частиц и не учитывает принцип Паули.

Распределение Максвелла (без вывода):

где С – постоянная,

k = 1,38 · 10^-23 Дж/К – постоянная Больцмана,

Т – абсолютная температура тела.

По статистике Максвелла средняя скорость частиц определяется из условия

Д ля одноатомного идеального газа

dN – распределение частиц по скоростям от u_x до u_x + du_x, и так по трем осям. Число частиц dN' с значениями скоростей от υ до υ+ d υ и любыми направлениями скоростей:

Из графиков видно: имеется наиболее вероятная скорость электронов. С ростом Т она увеличивается (максимум смещается вправо)

Р аспределение по энергиям: