§ 7. Волновая функция

Функция, характеризующая состояние микрочастицы и входящая в уравнения движения, называется волновой функцией.

Волновая функция характеризует вероятность нахождения микрочастицы в той или иной точке пространства (дальше будет уточнение). Эту функцию принято обозначать буквой ψ.

Когда речь пойдет о макрообъектах, где нет неопределенности в координате, ψ будет точно характеризовать координату тела (сказано не совсем точно). У микрочастиц, где соотношение неопределенности не позволяет точно знать координату частицы, можно говорить лишь о вероятности нахождения частицы в той или иной точке пространства. Это характеризует ψ.

Посмотрим теперь уравнения движения, в которые уже входит ψ, а не координата, и выводы из решения этого уравнения.

§ 8. Уравнение Шредингера

Уравнение Шредингера заменяет уравнение F = ma при описании движения микрочастиц. Далее все время будем говорить о движении электрона, хотя можно применять уравнение к любой частице, надо лишь подставить другие значения заряда и массы.

Уравнение Шредингера, как и законы Ньютона, является обобщением результатов экспериментов и проверяется тоже экспериментами.

Физико-математический аппарат квантовой механики огромен, так что в пределах односеместрового курса для заочников нам придется изучить только основные положения дисциплины, сосредоточившись прежде всего на физике, а не на математике, а также введя ряд упрощений.

В частности, знакомясь с уравнением Шредингера, мы ограничимся рассмотрением движения частиц в одномерных потенциальных силовых полях, не меняющихся во времени, когда потенциальная энергия частицы в поле является функцией только координат , но не времени.

Для этого случая с учетом соотношений и Шредингер (1926 г.) вывел уравнение движения частиц в стационарном поле (не зависящем от времени)

где ψ – волновая функция,

∆ - оператор Лапласа (сумма вторых частных производных по координатам),

Е – полная энергия частицы, равная сумме потенциальной (U) и кинетической (K) энергий.

Решая это уравнение, можно определить зависимость ψ от координат.

Уравнение Шредингера аналогично уравнению для волновой оптики. Там функция ψ принимает значение напряженности электрического поля. Для звуковых волн ψ – давление.

В уравнении Шредингера функция ψ не имеет прямого физического смысла, как, например, напряженность или давление.

Смысл ψ таков:

величина пропорциональна вероятности того, что в результате некоторого физического опыта можно обнаружить электрон в объеме ΔV. Физический смысл имеет лишь ׀ψ׀², но не ψ, так что ψ может быть комплексной.

Итак, решение уравнения Шредингера в отличие от закона Ньютона показывает не местонахождение электрона, а вероятность его местонахождения в той или иной точке пространства.

Говорить же о точном местонахождении частицы не имеет смысла в силу наличия соотношения неопределенности и функция ψ вполне достаточна для описания природы микромира.

Функция ψ должна удовлетворять ряду условий:

1. - непрерывная и однозначная функция

2. непрерывны

3. конечен.

Как и уравнение Шредингера это постулируется (утверждается) и должно проверяться опытом.

Если решение уравнения Шредингера для данного физического опыта дает, например, что ׀ψ׀² в данном элементе объема равно 0,2, то из пучка электронов в 100 шт. в этом объеме окажутся 20 шт. во время опыта.

Поскольку уравнение Шредингера определяет ψ с точностью до постоянного множителя, проводится нормировка ψ :

,

т.е. вероятность того, что электрон расположен вообще где-то в пространстве, равна 1. (Электрон с достоверностью расположен где-то в пространстве). Иначе ставить задачу не имеет смысла.

В зависимости от вида получим различные решения уравнения Шредингера, причем иногда эти решения получаются для всех E, иногда только для вполне определенных Е, называемых собственными значениями.

Рассмотрим далее различные виды решения уравнения Шредингера для некоторых частных случаев, интересных с физической точки зрения.