§ 1. Вырожденные и невырожденные системы частиц

До сих пор рассматривалось поведение электронов в отдельных атомах или молекулах. Далее изучается поведение электронов в совокупностях атомов, т.е. в твердых телах.

Для того чтобы изучить поведение электронов в твердом теле, необходимо написать трехмерное уравнение Шредингера для кристалла и решить его с граничными условиями и сшиваниями ψ на границах каждого атома - задача явно невыполнимая.

Поэтому решение должно основывться на изучении закономерностей совокупности частиц, т.е. на статистике.

Статистика изучает поведение совокупности частиц, например в газе, не исследуя поведение каждого отдельного атома. Мы можем не изучать поведение каждой частицы т. к. свойства вещества определяются именно общими свойствами системы частиц.

Мы будем пользоваться статистическими методами, однако надо учесть, что квантовая статистика ограничена принципом Паули – не может быть двух частиц в одинаковом квантовом состоянии. Этого запрета нет в классической статистике.

Принципу Паули подчиняются все частицы, но если число частиц много меньше числа возможных квантовых состояний, в такой системе мала вероятность нахождения двух частиц в одном и том же квантовом состоянии. Поэтому можно не учитывать принципа Паули (статистика Максвелла).

Такая система называется невырожденной. Примеры: обычный газ, электронный газ в диэлектриках или в слаболегированных полупроводниках (полупроводниках с малой концентрацией примеси).

Если же число частиц соизмеримо с числом квантовых состояний (но не больше!)*, то в этом случае нужно учитывать принцип Паули (статистика Ферми). Такая система называется вырожденной.

* (число частиц не может быть больше числа квантовых состояний!).

Примеры: электронный газ в металле или в сильнолегированном полупроводнике.

М ы уже говорили, исследуя решение уравнения Шредингера, что при сближении атомов уровни энергии расщепляются, и при большом числе атомов мы получим практически непрерывный спектр уровней, которые будут заполнены электронами. Число уровней больше, чем число электронов (см. схему Ni и т.п.) и уровни заполнены лишь частично, т.е. заполнены все уровни снизу и до определенной границы Е_max, где Е_max – энергия самого высокого заполненного уровня.

Распределение электронов по энергиям в такой системе определяется статистикой Ферми.

Э лектрон в металле можно считать покоящимся в трехмерной потенциальной яме. В пределах твердого тела поле ионов можно заменить некоторым средним полем с постоянным потенциалом.

(Поле создают N ионов и N – 1 электронов, где N – число атомов вещества).

На границе вещества - скачок потенциала.

Если полная энергия электрона выше U₀, то он вылетит за пределы вещества.

Электроны не вылетают, т.е. лежат на низких уровнях и заполняют их до Е_max.

Наиболее слабо связаны с ядрами внешние, валентные электроны, они и осуществляют электропроводность металла, т.е. могут электрическим полем отрываться от ядра и перемещаться по металлу. Они занимают верхние энергетические уровни и в совокупности называются «электронами проводимости» или электронным газом.

Но хотя они и распространяются по всему телу, они ограничены в своем движении его границами, кроме того, на каждом энергетическом уровне может быть не более 2^х электронов с разными спинами (уровни с разными спинами практически не отличаются по энергиям). Поэтому электронный газ – условно свободный, в отличие от свободного газа классической физики (обычного газа), и не подчиняется статистике Максвелла.

Статистика Максвелла считает, что вероятность нахождения частицы в определенном состоянии не зависит от наличия других частиц в этом состоянии.

Рассмотрим теперь общий подход к статистическим распределениям электронов.

Распределение частиц по энергиям, выведенное с учетом их столкновений и обмена энергиями, записывается в виде:

,

где dN – число частиц в единице объема, полная энергия которых заключена в пределах Е ÷ Е + dE ;

dS – число квантовых состояний у частиц в единице объема, имеющих энергию в пределах Е ÷ Е + dE ;

f(E) – функция распределения частиц по энергиям;

- плотность заполнения квантовых состояний частицами.

f(E) имеет различный вид в зависимости от того, учитывается принцип Паули или нет, т.е. различный вид для статистик Максвелла и Ферми.

Распределение f(E) устанавливается за счет обмена энергиями и импульсами частиц при их столкновениях между собой.