Книги и конспекты / Шпоры / 29-31

Теория сложности вычислений и сложностные классы задач. Теоритический предел трудоемкости задачи.

NOTE: не уверен, что первая (то, что ниже) часть будет нужна на экзамене. Можете переходить к самим классам задач (чуть ниже).

Рассматривали трудоемкости алгоритма.

ЗадачаD Da

A1 — алгоритм решения.

FА1(D) — в худшем случае. FА1(D)=O(g(n)) — ограничиваем сверху.

Задача A2

FA2(D)=O(g2(n))

и т. д.

Какова l самого быстрого алгоритма в худшем случае, т. е. Существует ли g*, что:

F*(D) = O(g*)

Функциональный нижний предел для f.

Если такой предел существует, то существует ли алгоритм.

Какова оценка сложности самого быстрого алгоритма выполнения данной задачи в худшем случае.

Функциональный нижний теоретический предел трудоемкости залачи в худшем случае

Flim = min(Θ(Fa(D))) = min(Θ(O(g(n)))) (где последнее n = |D|)

Flim = Θ(n) a1,...,an

Пример:

(n(x) + (n-1)(+)) n*n = 2n3 — n2 = Θ(n3) ≠ Flim

Flim = Θ(n2) — теоритический нижний предел На практике F = Θ(n2,34)

Либо не существует более быстрого алгоритма,

либо Θ(n2,34), — нужно докащать, что теоритический нижний предел.

Сложностные классы задач.

Сложностные классы задач отвечают на вопрос, решается ли задача на ЭВМ за конечное f.

1. Задачи с полиноминальной сложностью (класс P).

D P, если она решается, если существует константа l, трудоемкость алгоритма равна O(nk)

Fa(n) = O(nk)

Эта задача реально решаема за конечное время.

Обычно задачу относят к классу P(к полиноминальной задаче), если K≤6.

D1 P,D2 P, то для любой суперпозиции, +, * и др. также задача с полиноминальной сложностью.

P — естественно замкнут.

2. Полиноминально-проверяемые задачи

(класс NP).

В отличие от полиноминальных задач, проверяются за определенное время.

D NP, A1 — алгоритм, R — решение задачи.

Существует такое A1, которому на вход дается R, и он проверяет, правильно ли она решена.

(a1,...,an), {x1,..,xn}, xqXq {0,1}

Найти X:

∑XiAi=V

Пусть R — решение X. n(x) + (n-1)(+) = O(n)

То алгоритм cNP

Задача полиноминально-проверяема.

ДляD Da , |D| = n, существует A и существует — проверяющий правильность.

F() = O(nk)

тогда задача 2 полиноминально сводится к 1.

Задача сведения P

Задача 1 принадлежит классу NPC, при этом она должна

принадлежать классу NP.

Теорема

Если

существует задача 1,

принадлежащая классу NPC, которая решается за конечное число шагов (ξ P, F = O(nk)), т. е. NPC∩P ≠ 0,

тогда P=NP