Книги и конспекты / Шпоры / 16

16.Фактор степени вершины. Преобразования раскраски.

m-приведенная раскраска. Теорема о раскраске критического

графа.

О п р е д е л е н и е 49. Будем говорить, что

фактор-степень вершины x из Ci относительно раскраски π(m) равна r ≤ m − 1, если имеется ровно r классов (Ci1 ,Ci2 , ...,Cir ), таких, что Fx ∩ Cij ≠ ,

j 1, r,i il .

Способы перераспределения вершин по классам:

1. Перемещение вершин {xk} Ci π(m) фактор-степени меньше m-1 из одного класса Ci в другой Cj , с вершинами которого они не смежны.

2. Пусть x Ci и y Cj пара смежных вершин. И пусть ((C1,C2), ˆ )

F

максимальный по числу вершин связный двудольный подграф над Ci,Cj , такой что x C1, y C2. Тогда одновременное перемещение C1 в Cj и C1 в Ci

называется инверсией. Здесь ˆ —сужение отображения F на подмножества

F

из X, в данном случае на C1 C2.

О п р е д е л е н и е 50. Минимальную раскраску π(m) будем называть 1-приведенной относительно Ci и обозначать π1(m), если вершины из Ci имеют фактоp-степень m − 1 и никакие преобразования на

(C1, ...,Ci-1 ,Ci+1, ...,Cm) не изменяют их фактор-степеней.

О п р е д е л е н и е 51. Подмножества Xi и Xj соответственно из классов Ci и

G является максимальным по числу вершин связным двудольным графом над

~ ~ .

Ci Ck

Теорема о раскраске критического графа.

Если G-критический граф и ( m ) - его минимальная раскраска, приведѐнная относительно Сm , то Сm содержит всего одну вершину x.

► Действительно, если бы Сm содержал 2 вершины x и y, то в силу инвариантности фактор-степеней x и y относительно любых преобразований над (m) Сm одну из вершин можно удалить из Сm , что не влияет на хроматическое число графа G.◄