Книги и конспекты / Шпоры / 12

12. Представление графов. Представление графа G H . Теорема о представлении произведения графов. Теорема о представлении суммы графов.

Пусть ПG = (TX,AF ) и ПH = (TY ,AP ) — представления графов G и H [2], где TX = {(α,β)x}x X, TY = {(γ, δ)y}y Y .

Очевидно, представление графа Ω = (Z,B) = G ◦ H есть пара ПΩ = (TZ,AB), где AB : TZ → TZ и для любой пары

(ξ, η)z TZ имеют место равенства

ξ = α|Y′ | + γ|X′ | − |(Fx × Y′ ) ∩(X′ × Py|,η = β|Y′ | + σ|X′ | − |(F-1x × Y′ ) ∩(X’ × P-1y|.

Для каждой операции из A определим представление соответствующего графа Ω=G ◦ H.

Теорема 24. Представление графа Q = (Z,U) = G×H есть пара ПQ = (TZ,AU), где TZ = TX •TY – множество всевозможных произведений пар из TX и TY , таких, что

(α, β)x • (γ, δ)y = (αγ, βδ)z = (ξ, η)z, (α, β)x TX, (γ, δ)y TY ,

а AU : TZ → TZ таково, что AU(ξ, η)z = AF (α, β)x • AP (γ, δ)y,x X, y Y, z = (x, y) Z.

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Действительно, (ξ, η)x = (|Uz|, |U-1z|) = (|Fx × Py|, |F-1x × P-1y|) = (|Fx||Py|, |F-1x||P-1y|).Если α = |Fx|, β = |F-1x|, γ = |Py|, δ= |P-1y|, то (ξ, η)z =(αγ, βδ)z.

Положим по определению, (αγ, βδ)z = (α, β)x • (γ, δ)y. Так как Z — множество всевозможных упорядоченных пар элементов из X и Y , то TZ есть множество всевозможных произведений пар (α, β)x из TX и (γ, δ)y из TY и, следовательно, TZ = TX •TY .

Определим отображение AU через AF и AP . AU(ξ, η)z = {(ξ′ , η′ )z‘}z′ Uz=Fx×Py.

Так как X × Y соответствует TX • TY , прямое произведение Fx × Py будет соответствовать TFx • TPy, где TFx = {(α′ , β′ )x′ }x′ Fx, а TPy = {(γ′ , δ′ )y′ }y′ Py=Ap(ϒ,δ)y следовательно AU(ξ, η)z = AF (α, β)x • AP (γ, δ)y.

Теорема 25. Представление графа N = (Z,L) = G+H есть пара ПN = (TZ,AL), такая, что TZ = TX + TY , где TZ есть множество всевозможных сумм пар из TX и TY , определенных следующим образом:

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Действительно, если x Fx или y Py, то ξ = |Fx × {y}| + |{x} × Py| = |Fx| + |Py|,

η = |F-1x × {y}| + |{x} × P-1y| = |F-1x| + |P-1y|,и если |Fx| = α, | F-1x| = β, |Py| = γ, | P-1y| = δ, то

ξ = α + γ, η =β + δ.

Пусть x Fx и y Py, тогда ξ = |Fx × {y}| + |{x} × Py| − |(Fx × {y}) ∩ ({x} × Py)| = |Fx| + |Py| − 1 = α + γ − 1. Аналогично η = β + δ − 1. Пусть (ξ, η)z = (α, β)x +(γ, δ)y = (α+γ −t, β +δ −t)z, где t = 1

при x Fx, y Py и t = 0 во всех остальных случаях. Из определения представления следует, что

AL(ξ, η)z = {(ξ′, η′)z′}z′ Nz=Fx×{y} {x}×Py = {(ξ′, η′)z′}z′ Fx×{y} {(ξ′, η′)z‘}z′ {x}×Py.

Так как прямому произведению X×Y в представлении для суммы графов соответствует TX+TY , то из того, что Fx X, {y} Y следует, что прямому произведению Fx × {y} будет отвечать TFx + F{y}. Аналогично прямому произведению {x} × Py отвечает T{x} + TPy. Таким образом:

{(ξ′, η′)z′}z′ Fx×{y} = TFx + T{y} = {(α′, β′)x′}x′ Fx + (γ, δ)y = AF (α, β)x + (γ, δ)y, А {(ξ′, η′)z′}z′ {x}×Fy = (α, β)x + AP (γ, δ)y