Книги и конспекты / Шпоры / 11
.pdf
11. Операции над графами в терминах бинарных отношений. Три теоремы о связи бинарных отношений и операций над графами.
Пусть G = (X, F) — граф Бержа, где X — конечное множество, а F : X → X такое, что Fx X.Функции F : X → X можно сопоставить бинарное отношение α на X следующим образом: yαx y Fx, x, y X. Тогда определение графа Бержа можно сформулировать так:
Графом Бержа называется пара G = (X, α), где X — конечное множество, а α — бинарное отношение на X, β – на Y. Пусть α — бинарное отношение на X, а β — на Y , тогдa γ =α × β есть бинарное отношение на X × Y , такое, что (x, y)γ(z, t) xαz & yβt,
Определим бинарное отношение δ = α+β на X ×Y следующим образом:
(x, y)δ(z, t) (x = z & yβt) (xαz & y = t).Здесь x, z X, y, t Y .
Бинарным отношением ε = α β на X ×Y называется отношение, определяемое следующим образом: (x, y)ε(z, t) (xαz yβt).
Пусть G = (X, F) и H = (Y, P) — два графа Бержа и Q = G ×H, N = G +H, M = G H — произведение, сумма и композиция графов.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема 21. Пусть = (X, α) и = (Y, β). Тогда |
|
= × = (Z, γ) тогда и только тогда, когда Z = X×Y и γ = α×β. |
||||||||
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть G = (X, F), H = (Y, P) Q = |
||||||||||
(Z,R) = G × H, где Z = X × Y . Тогда по функциям F : X → |
||||||||||
X, H : Y → Y Q : Z → Z построим бинарные отношения α, β, γ |
||||||||||
над множествами X, Y Z соответственно: |
|
|
|
|
|
|
||||
x′ αx x′ Fx, y′ βy y′ Py z′ γz z′ Qz, |
|
|
|
|
|
|
||||
где z’ = (x’, y’), x R(x,y)=Rz=Fx×Py, тогда x’єFx & y’ Py x′ αx & y′ βy (x′ ,y′ )γ(x, y),откуда γ = α × β. |
||||||||||
И наоборот, если γ = α × β, то по бинарным отношениям α, β |
||||||||||
и γ построим функции F : X → X, P : Y → Y и Q : Z → Z, где |
||||||||||
Z = X × Y , следующим образом Fx = {x′ X : x′ |
αx}, Py = {y′ Y : y′ βy}Тогда (x′ , y′ )γ(x, y) (x′ αx & y′ βy) (x′ Fx & |
|||||||||
y′ Py) (x′ , y′ ) Fx × Py. |
|
|
|
|
|
|
||||
Теорема 22. Пусть G = (X, α) и H = (Y, β).При этом N =G+H = (Z, δ) тогда и только тогда, когда Z = X×Y и δ = α+β.
До к а з а т е л ь с т в о. Пусть = (X, F), = (Y, P) и
=(Z,L) = +. По функциям F,P и L, как и в теореме 21, построим бинарные отношения α, β δ. Тогда имеем
z′ = (x′, y′) L(x, y) = Lz = Fx × {y} {x} × Py (x′, y′) Fx × {y} (x′, y′) {x} × Py (x′ Fx & y′ = y) (x′ == x & y′ Py)(x′αx & y′ = y ) (x′ = x & y′βy) (x′, y′)δ(x, y) и, следовательно, δ = α + β.
И наоборот, если δ = α + β, то по бинарным отношениям α, β
и δ построим, как в теореме 21, функции F : X → X, P : Y → Y, L : Z → Z, где Z= X × Y. Тогда
(x′, y′)δ(x, y) (x′αx & y = y′) (x = x′ & y′βy) (x′ Fx & y′ = y) |
(x= x′ ,y′ Py) (x′, y′) ((Fx × {y}) ({x}×Py)) |
|||||||||||
Lz = L(x, y) = Fx × {y} {x} × Py. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Теорема 23. Пусть = (X, α) и |
|
= (Y, β). При этом =(Z, ε) = |
тогда и только тогда, когда Z = X×Y и ε = α β. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть |
|
= (X, F), = (Y, P) и |
|
|||||||||
= (Z, T) = , где Z = X × Y. Как и ранее, по функциям
F, P и T построим бинарные отношения α, β и ε. Тогда
(x′, y′) T(x, y) = Tz = Fx × Y X × Py (x′, y′) Fx × Y (x′, y) X× Py (x′ Fx y′ Py) (x′αx y′βy) (x′, y′)ε(x, y) и, следовательно, ε = α β.
И наоборот, если ε = α β, то по бинарным отношениям α, β, ε можно, как и ранее, построить функции F, P и T. В результате получим
(x′, y′)ε(x, y) (x′αx y Y y′βy x X) (x′ Fx y Y y′ Py x X) (x′, y′) Fx × Y X × Py Tz = T(x, y) = Fx × Y X × Py.