Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
дискретка.doc
Скачиваний:
5
Добавлен:
28.05.2022
Размер:
470.53 Кб
Скачать

Монотонные функции.

Опр. из того что включено в

Примеры:

  1. 0,1,x, ,

Способы выявления монотонности

  1. Эквивалентные преобразования. Если функция содержит только конъюнкцию и дизъюнкцию, то она монотонна.

  2. С помощью таблицы истинности.

М – замкнутый класс

Док-во. Надо доказать: суперпозиция класса М совпадает с самим классом М.

Рассмотрим функцию - суперпозицию монотонных функций. Т.е. таким образом, надо показать, что если то и

Пусть G определена на наборе переменных

Тогда будет определена на наборе И т.д.

будет определена на наборе

Возьмем две оценки списка переменных и обозначим их и

Причем:

Аналогичным образом получим наборы и , и и

Кроме того , ,....

Таким образом в силу того что функции F монотонные и получим:

Тогда если составить наборы из соответствующих наборов функций то будет иметь место следующее соотношение

А в силу того что функция F монотонная получим что

Таким образом

Таким образом в силу произвольности выбора функции F мы доказали что суперпозиция класса М совпадает с самим классом М.

Лемма о несамодвойственной функции.

Если функция то из нее путем подстановки и можно получить несамодвойственную функцию одного переменного – константу

Док-во.

Если , то двоичный набор

Рассмотрим подобранные функции которые конструируются следующим образом

Рассмотрим

Рассмотрим значение при и

Если ,

Если , то

Если , то

Если , то

Таким образом –константа.

Лемма о немонотонной функции

Если функция То из нее путем подстановки можно получить немонотонную функцию одного переменного -

Док-во

1 этап. Покажем что если , то два двоичных набора и

и

1 случай доказывать ничего не надо

2 случай это значит, что

Покажем что можно выбрать другие наборы и они будут соседними

Между и Мы можем взять промежуточных набора, причем таких что

и

Значит хотя бы для одной пары промежуточных наборов ( обозначим их и ) будет выполняться неравенство:

Пусть данные наборы имеют соседство по i-ой координате

2этап

Рассмотрим функцию, которая конструируется следующим образом

Рассмотрим значения при и

Учитывая, что мы работаем с булевыми функциями, это становится возможным только если

а

Следовательно .

Лемма о нелинейной функции

Если функция То из нее путем подстановки можно получить не линейную функцию -

Док-во

Для любой функции можно построить полином Жегалкина, притом единственный. Построим его для функции F.

Так как то в полиноме найдется член, содержащий не менее двух множителей. Без ограничения общности можно считать, что среди этих множителей присутствуют и . Тогда можно преобразовать полином следующим образом.

Очевидно, что так как

Выберем такой двоичный набор на котором

Пусть функция

Рассмотрим функцию которая конструируется следующим образом

Подставим в функцию Формулу для функции

Лемма доказана.

Таблица Поста. Алгоритм построения базисов

Дана система функций

Таблица Поста:

На пересечении класса и функций ставится “+” если функция принадлежит классу. Иначе – “-”

Соседние файлы в предмете Дискретная математика