Zadanie_po_diskretnoy_matematike

е) найти число таких троек (X; Y; Z), ÷òî X U, Y U, Z U,

X (Y ∩ Z) = X Y , |X| ≥ 1, |Y | ≥ 1, |Z| ≤ 1.

5) Задача мажордома. К обеду за круглым столом приглашены n пар враждующих рыщарей (n ≥ 2). Требуется рассадить их так, чтобы

расположить за круглым столом шесть супружеских пар так, чтобы мужчины и женщины чередовались и никакие двое супругов не сидели рядом?

24

Домашнее задание 10

1)Сумма цифр шестизначного кода для кодового замка равна 38. Сколько вариантов придется перебрать в худшем случае, чтобы найти нужную комбинацию.

2)Найти число решений системы в неотрицательных целых числах.

2 ≤ x1 ≤ 18; 0 ≤ x2 ≤ 17; 1 ≤ x3 ≤ 21; 2 ≤ x4 ≤ 20:

3)Найти число решений системы в неотрицательных целых числах. а) x1 + x2 + x3 ≥ 25,

3 ≤ x1 ≤ 20; 13 ≤ x2 ≤ 25; 13 ≤ x3 ≤ 24: 2 ≤ x4 ≤ 18:

26

Домашнее задание 11

1)Построитü таблицы функций, реализуемых следующими формулами: а) ((x y) (x z)) (y | z);

á) ((x y) ↓ (x | y)) (z y);

â) (x ≡ y) (y z) ↓ ((x z) y); ã) x y ((x z) ≡ y) z;

ä) (x y) ((x ↓ y) | z) ↓ y;

å) (x ≡ y) (x z y) x z; æ) (((x ↓ y) | z) | x) ↓ y;

ç) ((x y) (x y z)) | (x ↓ y).

2) С помощью функций f(x1; x2) è g(x1; x2), заданных векторами значений, построить вектор значений функции h:

à) f = (0010), g = (1000), h(x1; x2; x3) = f(x1; x3) g(x2; x1);

á) f = (0100), g = (1101), h(x1; x2) = f(x1; g(x2; x1)) g(x2; f(x1; x1)); â) f = (1001), g = (1110), h(x1; x2; x3; x4) = f(x1; x3) g(x2; f(x1; x4)); ã) f = (0110), g = (1011), h(x1; x2; x3) = f(g(x1; x3); f(x2; x1));

ä) f = (1101), g = (0111), h(x1; x2) = f(g(x1; x2); x2) g(x2; f(x2; x1)); å) f = (1000), g = (0110), h(x1; x2; x3; x4) = (f(x1; f(x2; x1))

g(f(x1; x2); g(x1; x3))) f(g(x3; x4); f(x2; x2)).

3)Доказать выполнимость формул: а) ¬(A ¬A);

á) ((A B) (B A));

â) ((B (A C)) ¬((A C) B)).

4) При каких значениях переменных x; y; z; u; v; w ложны следующие

формулы:

à) (((x (y z)) (y x)) y);

á) ((x y) (x z) (y z) (u v) (u w) (v w) (x u)); â) (((x y) z) ((x y) (x z)));

ã) (((x y) ((y z) (z x))) ((x y) z)); ä) ((x y) ((x y) (x y))).

5) Доказать, что если формулы A è (A B) тождественно истинны, то

28

формула B тождественно истинна.

6) Доказать, что:

а) если формулы (A B) è (¬A C) тождественно истинны, то формула (B C) тождественно истинна;

б) если формулы (A B), (A C) è (B D) тождественно истинны, то формула (C D) тождественно истинна;

в) если формулы (¬A B) è (¬C ¬B) тождественно истинны, то формула (A ¬B) тождественно истинна.

29

Домашнее задание 12

1) Построив таблицы соответствующих функций, выяснить, эквивалентны ли U и B:

à) U = (x → y) ((y → z) → x · y), B = y · z → x; á) U = (x y) ↓ (x → (y → z)), B = y → (x z);

â) U = x → ((y → z) → y · z), B = (x (y → z)) · (x y); ã) U = (x ↓ y) (x ≡ z) | (x y · z), B = x · (y · z) x → z;

ä) U = ((x y) ·z → ((x ≡ z) y)) ·((x y) ·z), B = (x → yz) x → y); å) U = (x y) → ((y | z) → (x ≡ x · z)), B = xy (x → xy → z);

æ) U = (x | y) → ((y ↓ z) → (x z)), B = x · (y · z) (x → z);

ç) U = (((x | y) ↓ z) | y) ↓ (y → z), B = ((x | y) ↓ (y | z))·(x → (y → z)); è) U = (x ·y → z) ((x ↓ y) | z), B = ((x ↓ y ·z) (x ≡ y)) (y → x ·z); ê) U = x y · z · y → x · z · (x ↓ y), B = (x · y → (y ↓ z)) x · z · z.

2) Построив таблицы для соответствующих функций, убедиться в справедливости следующих эквивалентностей:

à) x y = (x → y) → y;

á) x ≡ y = (x → y) (y → x);

â) x ↓ y = ((x | x) | (y | y)) | ((x | x) | (y | y)); ã) x (y ≡ z) = (x y) ≡ (x z);

ä) x (y ≡ z) = ((x y) ≡ (x z)) ≡ x; å) x → (y ≡ z) = (x → y) ≡ (x → z); æ) x (y → z) = (x y) → (x z);

ç) x (y → z) = (x → y) → (x z); è) x → (y z) = (x → y) (x → z); ê) x → (y z) = (x → y) (x → z); ë) x → (y → z) = (x → y) → (x → z).

3) Используя основные тождества алгебры логики и соотношения из предыдущих заданий, доказать эквивалентность формул U и B:

à) U = (x → y) → (x · y ≡ (x y)), B = (x · y → x) → y;

á) U = (x · y (x → y · z)) ≡ ((x → y) → z), B = (x → y) (y z); â) U = (x y · z) → (x → (y → z)), B = x → ((y → z) → x);

ã) U = (x → (y → (x ≡ z))) · (x ≡ (y → (z (x → y)))), B = (x → (y → z)) → x;

31

ä) U = (x y·z) → ((x → y) → ((y z) → x)), B = (x → y) → (y → x); å) U = (x · y x · z) ((y → z) → x · y), B = (x · (y · z) y) z;

æ) U = x → (x · y → (x · z → y)) → y) · z, B = x · (y → z); ç) U = (x ≡ y) → (x → z) (x y · z), B = x ≡ (z → y);

è) U = (x y · z) · (x → y · z) · (x → (y ≡ z)), B = ((x → y) ≡ (y → (x → z))) x · (y · z);

ê) U = ((x y) → y · z) (y → x · z) (x → (y → z)), B = (x → y) z.

32

Домашнее задание 13

1) Разложить функцию f по указанным переменным а) f(xe3) = ((x1 x2) (x2 x3)) по переменной x2;

á) f(xe3) = ((x1 x2) (x1 (x2 x3))) по переменной x1;

â) f(xe3) = (¬(x1 ¬(x2 x1)) (x1 x3)) по переменным x1 è x3; ã) f(xe2) = ((x1 (x2 x1)) ¬x1) по переменной x1;

ä) f(xe3) = (((x1 ¬x2) x2) (x3 x1)) по переменной x2;

å) f(xe3) = ((x1 (x2 x3)) ((x1 x2) (x1 x3))) по переменной

x3;

æ) f(xe3) = ((x1 (x2 ¬x1)) ((¬x2 x1) ¬x3)) по переменным x2 è x3.

2) С помощью эквивалентных преобразований построить ДНФ и КНФ

функций:

à) f(xe3) = (x1 x2) (¬x2 x3);

á) f(xe2) = ¬(¬(x1 ¬x2) (x2 ¬x1));

â) f(xe3) = (¬x1 ¬x2) ≡ (x2 ≡ x3);

ã) f(xe3) = ((x1 x2) (x3 ¬x1)) (¬x2 ¬x3):

3)Представить в СДНФ следующие функции: а) f(xe3) = (x1 x2) x3;

á) f(xe3) = (x1 x2) (x1 | x2 · x3); â) f(xe3) = (01010001);

ã) f(xe3) = (01111000); ä) f(xe3) = (10001111);

å) f(xe4) = (x1 x2 · x3 · x4)(x3 x1 · x2); æ) f(xe4) = (x1 x2)(x3 x2 · x4);

ç) f(xe4) = (0100100011000010); è) f(xe4) = (1000011100110001); ê) f(xe4) = (1100100010010011).

4)Представить в СКНФ следующие функции: а) f(xe2) = x1 x2;

á) f(xe2) = x1 ↓ x2;

â) f(xe3) = x1 · x2 x1 · x3 x2 · x3;

34

ã) f(x3) = x1 · x2 x3; ä) f(x3) = (01011101);

35

Домашнее задание 14

1) Методом неопределенных коэффициентов найти полиномы Жегалкина для следующей функции:

à) f(xe2) = x1 | x2; á) f(xe2) = (0100);

â) f(xe3) = x1(x2 x3);

ã) f(xe3) = x1 (x2 x3); ä) f(xe3) = (01101001);

å) f(xe3) = (10001110); æ) f(xe3) = (00000111); ç) f(xe3) = (01100110);

è) f(xe4) = (1000000000000001); ê) f(xe4) = (0000100010010000).

2) Представив функцию f(xen) формулой над множеством связок { ; ¬},

преобразовать затем полученную формулу в полином Жегалкина для этой функции:

37

38