Zadanie_po_diskretnoy_matematike

Домашнее задание 15

1) Найти двойствåнную функцию по определению двойственности f (x1; :::; xn) = ¬f(x1; :::; xn), упростить результат:

à) f = (x y) ((y z) xy); á) f = x ((y z) yz);

â) f = (x | y) ((y ↓ z) (x z)); ã) f = (xy z) ((x ↓ y) | z);

ä) f = (x y) (x z); å) f = (x y) (x z); æ) f = (x y) (x z);

ç) f = (x y) (x · y ≡ (x y));

è) f = (x · y (x yz)) ≡ ((x y) z).

2)Найти двойстâенную функцию используя принцип двойственности: а) f = ((x y) (x z))(y | z);

á) f = (x ≡ y) (y z) ↓ ((x z) y); â) f = (x ≡ y) (x · z y) x · z;

ã) f = (x · y x · z) ((y z) x · y);

ä) f = ((x y) yz) (y xz) (x (y z)); å) f = (x y) ≡ ((x yz) y);

æ) f = x y ((z yx) ↓ y).

3) Выяснить, является ли функция f самодвойственной: а) f = x1x2 x2x3 x3x1;

á) f = x1 x2;

â) f = x1 x2 x3 1; ã) f = (x y z)t xyz; ä) f = (x y z)t xyz; å) f = (x1 x2);

æ) f = (x1 x2);

ç) f = x1x2 x2x3 x3x1 x2 x3; è) f = x1x2 x3;

ê) f = x1 x2 (x1x2 x2x3 x3x1); ë) f = x1x2 x3(x1 x2);

ì) f = x1x2x3 x1x2 x2x3 x3x1; í) f = x1x2x3 x1x2x3 x2x3 x3x1;

40

î) f = (x1 x2) (x2 x3) (x3 x1) x3; ï) f = (x1 x2) (x2 x3) (x3 x1).

4) Выяснить, является ли самодвойственной функция f, заданная

векторно:

à) ef = (1010); á) ef = (1001);

â) ef = (10010110); ã) ef = (01100110); ä) ef = (01110001); å) ef = (01001101);

æ) ef = (1100100101101100); ç) ef = (1110011100011000); è) ef = (1000001110001100); ê) ef = (1001101110111001); ë) ef = (1100001110100101); ì) ef = (1001011010010110); í) ef = (1101010010110010); î) ef = (1010010101011010).

5) Заменить прочерки в векторе e символами 0 или 1 так, чтобы

получился вектор значений самодвойственной функции: а) e = (1 − 0−);

á) e = (−01−); â) e = (01 − −);

ã) e = (01 − 0 − 0 − −); ä) e = (− − 01 − −11); å) e = (−1 − 1 − 0 − 1); æ) e = (−10 − 0 − −1);

ç) e = (1001 − − − −1111 − − − −); è) e = (11 − −00 − −01 − −10 − −); ê) e = (− − − − − − 01 − −101100).

41

Домашнее задание 16

1) Определить, какие из переменных функций f(xen) следует заменить на x, а какие на x с тем, чтобы получить константу:

à) ef = (10110110); á) ef = (11011000); â) ef = (10100100); ã) ef = (10101000); ä) ef = (11001110);

å) ef = (1000110100101100); æ) ef = (1001011010011010); ç) ef = (0111000100110001); è) ef = (0110100011101011); ê) ef = (1010010101010011); ë) ef = (1010111011001010); ì) ef = (01100001);

í) ef = (1011010011110010); î) ef = (0000111100101111); ï) ef = (1110100001101000).

2) Пусть m(x; y; z) = xy yz xz. Доказать тождества:

à) m(m(x; y; z); m(x; y; z); m(x; y; z)) = m(m(x; y; z); m(x; y; z); m(x; y; z)); á) x y z = m(m(x; y; z); m(x; y; z); z);

â) m(m(x; y; z); m(x; y; z); m(x; y; z)) = m(x; m(x; y; z); m(x; y; z)); ã) x y z = m(m(x; y; z); m(x; y; z); m(x; y; z));

ä) m(x; y; z) = m(x; y; z);

å) m(x; y; z) = xy yz xz;

æ) m(x; y; z) = m(x; m(x; y; z); z);

ç) xyz t(x y z) = m(x; m(y; z; t); t);

è) xyz t(x y z) = m(m(x; y; t); m(x; z; t); m(y; z; t)); ê) xyz t(x y z) = m(x y z; m(x; y; z); t).

3)Доказать, что не существует самодвойственных функций, существенно зависящих в точности от двух переменных.

4)Выяснить, при каких n ≥ 2 функция f(xen) является самодвойственной:

43

44