Zadanie_po_diskretnoy_matematike
.pdf
Домашнее задание 1: Множества и операции над ними
1) Доказать, что :
à) A B A C B C;
á) A B A ∩ C B ∩ C; â) A B (A \ C) (B \ C); ã) A B (C \ B) (C \ A); ä) A B B A;
å) A B = A ∩ B A = B;
æ) A = B A ∩ B = è A B = U.
2) Показать, что мощность множества 2A всех подмножеств множества A ñ n элементами равна 2n:
|2A| = 2|A|
3)Существуют ли такие множества A, B è C, ÷òî A ∩B ≠ , A ∩ C = ,
(A ∩ B) \ C = .
4)Доказать следующèе тождества:
à) (A ∩ B) (A ∩ B) = (A B) ∩ (A B) = A; á) (A B) ∩ A = A ∩ B;
â) (A \ B) \ C = (A \ C) \ (B \ C); ã) A \ (B C) = (A \ B) \ C;
ä) A \ (B \ C) = (A \ B) (A ∩ C);
: : : :
å) A (B C) = (A B) C;
: :
æ) A ∩ (B C) = (A ∩ B) (A ∩ C).
5)Доказать, что 2A∩B = 2A ∩ 2B.
6)Решить систему уравнений
{
A ∩ X = B; A X = C;
ãäå A, B, C данные множества; B A C.
6
Домашнее задание 2: Бинарные отношения
1)Доказать, что для произвольных множеств A, B, C, D: à) (A × C) ∩ (B × D) = (A ∩ B) × (C ∩ D);
á) (A × C) (B × D) (A B) × (C D); При каких A, B, C è D
получается равенство?
â) (A B) × C = (A × C) (B × C);
ã) A × (B C) = (A × B) (A × C);
ä) (A B) × (C D) = (A × C) (B × C) (A × D) (B × D); å) (A \ B) × C = (A × C) \ (B × C);
æ) A × (B \ C) = (A × B) \ (A × C);
ç) A × B = (A × D) ∩ (C × B), ãäå A C è B D.
2)Найти D , R , −1, ◦ , ◦ −1, −1 ◦ для следующих отношений: а) = {(x; y) | x; y N; x делит y};
á) = {(x; y) | x; y N; |
y делит x}; |
|||||||||||
â) = {(x; y) | x; y R; x + y ≥ 0}; |
||||||||||||
ã) = |
{ |
(x; y) |
| |
x; y |
|
R |
; 2x |
3y |
} |
; |
||
|
|
|
|
|
≥ |
|
|
|||||
ä) = {(x; y) | x; y |
[− |
2 ; |
2 ]; y ≥ sin x}. |
|||||||||
3)Доказать, что для любых бинарных отношений:
à) ( 1 2)−1 = −1 1 −2 1;
á) ( |
1 |
∩ |
|
)−1 |
= −1 |
∩ |
−1 |
; |
||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
)−1 |
; |
|
|||||
â) −1 = ( |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
ã) ( |
∩ |
I |
i)−1 = |
i I i−1; |
|
|||||||||
|
|
|
i)−1 |
|
|
∩ |
|
|
|
|||||
ä) ( ii I |
= i I i−1. |
|
||||||||||||
4)Доказать, что если 1 2, òî à) ◦ 1 ◦ 2;
á) 1 ◦ 2 ◦ ;
â) −1 1 −2 1.
8
Домашнее задание 3
1) Пусть для функции f определенной на множестве A
f(A) = {y | x A; (x; y) f}:
Доказать, что если A B, то справедливо f(A) f(B) для любой функции f.
2) Доказать, что для любой функции f:
à) f(A) = A ∩ Df = ; á) f−1(A) = A ∩ Rf = .
3) Доказать, что для любой функции f и произвольных множеств: а) f(A B) = f(A) f(B);
á) f ( i I Ai) = |
i I f(Ai); |
|||||||||
â) |
f( |
A |
B |
) |
|
f A |
|
|
f B |
. В каком случае включение можно заменить |
|
|
|
|
( ) |
∩ |
( ) |
|
|||
|
|
∩ |
|
|
|
|
|
|
||
равенством?
ã) f ( i I Ai) i I f(Ai);
ä) |
f( |
A |
|
f B |
|
f A |
|
B |
. |
|
|
∩) |
\ |
( ) |
∩ |
( |
\ |
) |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4) Доказать следующие утверждения для любой функции f:
à) f−1(A B) = f−1(A) f−1 |
(B); |
||||||
− |
|
|
|
|
|
|
|
á) f−1 |
( i I Ai) = |
i I f−1(Ai); |
|||||
â) f 1(A |
∩ |
B) = f−1(A) |
∩ |
f−1 |
(B); |
||
− |
∩ |
|
∩ |
|
|
||
\ |
|
\ |
|
|
|||
ã) f−1 |
( |
i I Ai) = |
i I f−1(Ai); |
||||
ä) f 1(A B) = f−1(A) f−1(B).
5)Доказать, что если A B, то справедливо f−1(A) f−1(B) для любой функции f.
6)Пусть f функция. Доказать, что если A Df è B Rf , òî:
à) A f−1(f(A)); á) f(f−1(B)) = B;
â) f(A) ∩ B = f(A ∩ f−1(B));
ã) f(A) ∩ B = A ∩ f−1(B) = ; ä) f(A) B A f−1(B).
10
Домашнее задание 4
1) Доказать, что:
а) если отношения 1 è 2 рефлексивны, то рефлексивны и отношения
1 2, 1 ∩ 2, −1 1, 1 ◦ 2;
б) если отношения 1 è 2 иррефлексивны, то иррефлексивны и отношения 1 2, 1 ∩ 2, −1 1;
в) если отношения 1 è 2 симметричны, то симметричны и отношения
1 2, 1 ∩ 2, −1 1.
2) На множестве N × N определим отношение :
(x; y) (u; v) x + v = y + u:
Доказать, что является отношением эквивалентности.
3)Привести пример линейного порядка на множестве N × N.
4)Доказать, что пересечение отношений эквивалентности на множестве X есть отношение эквивалентности на этом множестве.
5) Доказать, что объединение 1 2 двух отношений эквивалентности 1 è 2, заданных на множестве X, является отношением эквивалентности
тогда и только тогда, когда 1 2 = 1 ◦ 2.
6) Доказать, что если нестрогий порядок, то −1 также нестрогий порядок.
7)Доказать, что всякий нестрогий порядок на конечном множестве может быть продолжен до линейного порядка.
8)Пусть 1 è 2 линейные порядки на множестве A. При каких условиях
1 ◦ 2 будет линейным порядком? 9) Построить бинарное отношение:
а) рефлексивное, симметричное, не транзитивное; б) рефлесивное, антисимметричное, не транзитивное; в) рефлексивное, транзитивное, не симметричное;
г) антисимметричное, транзитивное, не рефлексивное.
12
Домашнее задание 5
1) Пусть n; m N. Доказать равенства:
à) (k) · (l ) = (l ) · (k − l); á) (2n ) = |
|
|
(i ) ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
k |
|
|
|
n |
n |
− |
|
|
n |
|
|
∑i |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
â) ïðè m ≤ n верно, что |
|
|
( |
n |
|
|
) |
=0 |
|
|
( i ) |
· (i ); |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
= |
n |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n + m |
∑i |
|
m |
|
n |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑k |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ã) |
=1 |
|
k(k) = n2n−1; |
|
|
|
|
ä) |
k=2 |
k(k − 1)(k) = n(n − 1)2n−2; |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑k |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
1 |
|
n |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
å) |
|
(2k + 1)(k) = (n + 1)2n; |
æ) |
|
|
|
|
|
(k) = |
|
(2n+1 − 1); |
||||||||||||||||||||||||
=0 |
k=0 |
|
k + 1 |
n + 1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
n |
|
|
1 |
|
|
|
n |
|
|
1 |
|
|
n |
|
( 1)k 1 n |
|
|
|
1 |
1 |
|
|||||||||||||
|
∑k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç) |
(−1)k k + 1(k) = n + 1; |
è) |
|
|
|
− k − (k) = 1 + 2 + · · · + n; |
|||||||||||||||||||||||||||||
=0 |
k=1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
ê) |
|
( r )(k |
|
|
r) = |
( |
k |
); |
ë) |
|
(k!)2((n |
|
|
k)!)2 |
= ( n ) ; |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
∑ |
m |
− |
|
|
|
n + m |
|
∑k |
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
2n |
|
|
|
||||||||
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2n)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
r=0 |
|
(k)( |
|
r ) |
|
|
|
=0 |
|
|
− |
|
(r) |
|
|
r=0 |
− |
(r) |
||||||||||||||||
|
k=0 r=0 |
|
|
|
|
=k |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
ì) |
n n−k |
|
n n |
− k |
= 3n; |
|
í) |
n |
( 1)k−r n = n−k |
( 1)n−k−r n ; |
|||||||||||||||||||||||||
|
∑ ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑r |
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
1; m = n: |
|||||
|
r=0 |
|
(k + r)( r ) (n k ) |
|
k=n |
|
|
|
(n)(k ) { |
||||||||||||||||||||||||||
î) |
n−k |
|
|
n |
m = m + n ; ï) |
m |
( 1)k−n |
|
k m = |
0; m ̸= n; |
|||||||||||||||||||||||||
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) Найти коэффициент при tk в разложении: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
à) (1 + 2t − 3t2)8; |
k = 9; |
á) (1 − t + 2t2)10; |
k = 7; |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
â) (2 + t − 2t3)10; |
k = 5; |
ã) (2 + t4 + t7)15; |
k = 17: |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
14
Домашнее задание 6
1) Пусть для данной последовательности bn, n = 0; l, выполняются равенства
|
n |
|
|
|
|
∑k |
n |
|
|
|
|
|
|
|
bn = |
=0 |
(k)ak; n = 0; l: |
||
|
|
|
|
|
Пользуясь формулой обращения, найти значения an, n = 0; l. Провести проверку.
à) l = 4, b0 = 3; b1 = 8; b2 = 15; b3 = −1; b4 = 4; á) l = 4, b0 = 8; b1 = −5; b2 = 11; b3 = 4; b4 = −1;
â) l = 4, b0 = 2:5; b1 = 2; b2 = 4:3; b3 = 1:25; b4 = 4:8;
ã) l = 6, b0 = 4; b1 = 3; b2 = 5; b3 = 9; b4 = 14; b5 = 3; b6 = 22;
ä) l = 6, b0 = 2:75; b1 = 38; b2 = 5:3; b3 = 12; b4 = 8:5; b5 = 16; b6 = 21; å) l = 6, b0 = −1; b1 = 6:5; b2 = 7; b3 = 5:5; b4 = 3; b5 = −2:8; b6 = 8:75; æ) l = 6, b0 = 18; b1 = −3:5; b2 = 6; b3 = 3:4; b4 = 3; b5 = 2:25; b6 = −7:7;
ç) l = 6, b0 = 5; b1 = −3:3; b2 = −10; b3 = 7; b4 = 1:5; b5 = 3; b6 = 4; è) l = 6, b0 = 1; b1 = 6; b2 = 4; b3 = 8; b4 = −1:1; b5 = 0; b6 = 5;
ê) l = 6, b0 = 10; b1 = 1; b2 = −1; b3 = −10; b4 = 5:5; b5 = 3; b6 = 4; ë) l = 6, b0 = 7:28; b1 = 1:3; b2 = 2; b3 = −4; b4 = 8; b5 = 10; b6 = 1.
16
Домашнее задание 7
1) Сколькими способами можно разложить а) 20 одинаковых шаров по четырем различным урнам;
б) 20 различных шаров по четырем различным урнам; в) 20 различных шаров по четырем различным урнам так, чтобы в
первой, второй, третьей и четвертой урнах находилось соответственно 2, 5, 3 и 10 шаров.
2) Äàíî m предметов одного сорта и n предметов другого. Найти число выборок, составленных из r предметов одного сорта и s предметов другого сорта.
3)Сколько существует наборов из монет достоинством 1, 2 и 5 рублей по 20 монет в наборе.
4)а) На перемене двадцать пять студентов пришли в библиотеку и взяли по одному учебнику каждый. Пятеро взяли учебник по алгебре, четверо по геометрии, семеро по математическому анализу и девять человек взяли учебник по уравнениям математической физики. Сколько существует вариантов такого события, если имена студентов пришедших в библиотеку известны.
б) На перемене двадцать пять студентов пришли в библиотеку и взяли в сумме сорок книг. Сколько существует вариантов такого события, если имена студентов пришедших в библиотеку известны. При вычислениях книги считать неразличимыми.
5)Определить коэффициент k в следующих членах многочлена (с
приведенными подобными членами), получаемого из алгебраического выражения (a + b + c)2(a2 + b2 + c2)4 :
à)ka3b3c4; |
á)ka2b4c4; |
â)ka5b5; |
ã)ka2b2c6: |
6)Три товарища играли в карты. Первый выиграл восемь раз, второйчетыре раза, третий тринадцать раз. Сколько вариантов такого состязания могло быть.
7)Имеется колода из 4n (n ≥ 5) карт, которая содержит карты четырех
мастей по n карт каждой масти, занумерованных числами 1; 2; ::::; n.
Подсчитать, сколькими способами можно выбрать пять карт так, что среди них окажутся:
18
а) пять последовательных карт одной масти; б) четыре карты из пяти с одинаковыми номерами;
в) три карты с одним номером и две карты с другим; г) пять карт какой-нибудь одной максти; д) пять последовательно занумерованных карт;
е) в точности три карты из пяти с одним и тем же номером; ж) не более двух карт каждой масти.
8) Сколькими способами можно задать отношение эквивалентности на множестве {1; 2; :::; 30} с четырьмя классами эквивалентности.
19
Домашнее задание 8
1)Найти число решений системы в неотрицательных целых числах. а) x1 + x2 + x3 + x4 = 25;
á) x1 + x2 + x3 + x4 = 30,
x1 |
≥ 3; |
x3 |
≥ 8; |
â) x1 + x2 + x3 + x4 = 40, |
|||
x1 ≥ 1; |
x2 ≥ 10; x4 ≥ 3; |
||
ã) x1 + x2 + x3 + x4 = 35, |
|||
x1 ≥ 3; |
x2 ≥ 8; x3 ≥ 5; x4 ≥ 4; |
||
ä) x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 28, |
|||
x1 ≥ 1; |
x2 ≥ 7; x3 ≥ 8; x4 ≥ 4; x5 ≥ 2: |
||
2)Найти число решений системы в неотрицательных целых числах. а) x1 + x2 + x3 + x4 ≤ 18;
á) x1 + x2 + x3 + x4 ≤ 24,
x2 |
≥ 2; |
x4 |
≥ 5; |
â) x1 + x2 + x3 + x4 ≤ 35, |
|||
x1 ≥ 3; |
x3 ≥ 5; x4 ≥ 1; |
||
ã) x1 + x2 + x3 + x4 ≤ 41, |
|||
x1 ≥ 0; |
x2 ≥ 10; x3 ≥ 3; x4 ≥ 5; |
||
ä) x1 + x2 + x3 + x4 + x5 ≤ 43, |
|||
x1 ≥ 2; |
x2 ≥ 6; x3 ≥ 4; x4 ≥ 2; x5 ≥ 4; |
||
21
Домашнее задание 9
1) Четыре человека сдают свои шляпы в гардероб. В предположении, что шляпы возвращаются наугад, найти вероятность того, что в точности k человек получат свои шляпы назад. Рассмотреть все значения k
(0 ≥ k ≥ 4).
2) При обследовании читательских вкусов студентов оказалось, что 60% студентов читают журнал А, 50% журнал В, 50% журнал С, 30% журналы А и В, 20% журналы В и С, 40% журналы А и С, 10% журналы А, В и С. Выяснить, сколько процентов студентов:
а) не читает ни одного из журналов; б) читает в точности два журнала; в) читает не менее двух журналов.
3)
а) Показать, что количество целых положительных чисел делящихся
[ ]
íà n и не превосходящих x равно nx ;
б) найти число целых положительных чисел не превосходящих 1000 и не делящихся ни на одно из чисел 3, 5 и 7;
в) найти число целых положительных чисел не превосходящих 1000 и не делящихся ни на одно из чисел 6, 10 и 15;
г) показать, что если n = 30m, то количество целых положительных чисел, не превосходящих n и не делящихся ни на одно из чисел 6, 10, 15, равно 22m;
д) найти число простых чисел, не превосходящих 100. 4) Пусть U множество из n (n ≥ 3) элементов.
а) Найти число пар (X; Y ) таких подмножеств множества U, ÷òî
X ∩ Y = ;
б) найти число таких пар (X; Y ), ÷òî X U, Y U,
|(X \ Y ) (Y \ X)| = 1;
в) найти число таких троек (X; Y; Z), ÷òî X U, Y U, Z U,
X (Y ∩ Z) = X Y ; |
|
|
|
|
г) найти число пар (X; Y ) |
таких подмножеств |
множества |
U, |
÷òî |
X ∩ Y = , |X| ≥ 2, |Y | ≥ 3; |
(X; Y ), ÷òî X |
U, Y |
|
U, |
д) найти число таких пар |
|(X \ Y ) (Y \ X)| = 1, |X| ≥ 2, |Y | ≥ 2;
23