УДК 538.9(07) ББК 22.379я7

Составитель: д-р физ.-мат. наук А. В. Бугаков

Физика. Полупроводники: методические указания к изучению темы «Полупроводники» для студентов всех технических направлений и специальностей очной формы обучения / ФГБОУ ВО «Воронежский государственный технический университет»; сост.: А. В. Бугаков. Воронеж: Изд-во ВГТУ,

2021. 38 с.

Методические указания содержат краткое изложение общих вопросов теории физики твердого тела и их конкретного приложения к физике полупроводников. Эти сложные вопросы изложены в лаконичной форме и в тоже время написаны на достаточном научно-методическом уровне. Методические указания помогут активизировать самостоятельную работу студентов по данной теме курса общей физики.

Предназначены для студентов всех технических направлений и специальностей очной формы обучения.

Методические указания подготовлены в электронном виде и содержатся в файле МУ_Полупроводники.pdf

Библиогр.: 6 назв.

УДК 538.9(07) ББК 22.379я7

Рецензент – Е. К. Белоногов, д-р физ.-мат. наук, доцент кафедры физики ВГТУ

Издается по решению редакционно-издательского совета Воронежского государственного технического университета

2

ВВЕДЕНИЕ

Данные методические указания содержат краткое изложение общих вопросов теории физики твердого тела и их конкретного приложения к физике полупроводников. Эти сложные вопросы изложены в лаконичной форме и в тоже время написаны на достаточном научно-методическом уровне.

Методические указания могут быть с успехом использованы как студентами, так и преподавателями в учебном процессе.

Проработка настоящего материала будет способствовать успешному усвоению студентами этих сложных вопросов учебной программы как обычного курса физики, так и «Спецглав курса физики».

Методические указания предназначены для студентов всех инженерных специальностей и всех форм обучения.

3

ЭЛЕМЕНТЫ ФИЗИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА

Первой удачной попыткой объяснения электрических и магнитных свойств твердых тел, в первую очередь металлов, была теория свободных электронов. Она исходила из представления, что металл содержит свободные электроны, способные перемещаться по всему объему, подобно молекулам газа, заполняющим сосуд. Это позволило объяснить такие явления, электропроводность и теплопроводность металлов, термоэлектронную эмиссию, термоэлектрические и гальваномагнитные эффекты и т.д. Но теория свободных электронов оказалась бессильной при рассмотрении свойств твердых тел, зависящих от их внутренней структуры. Она не давала ответа даже на такой вопрос, почему одни тела являются проводниками, другие – изоляторами.

Дальнейшим этапом в развитии электронной теории является зонная теория твердых тел.

Прежде чем рассматривать эту теорию, будет полезно вспомнить квантовую теорию изолированного атома и квантовую статистику, описывающую поведение систем из очень большого числа частиц.

1. Энергетические уровни свободных атомов

Состояние электрона в атоме определяется четырьмя квантовыми числами: главным n, орбитальным l, магнитным

ml и спиновым ms.

Главное квантовое число n определяет энергетические уровни электрона в атоме и может принимать любые целочисленные значения, начиная с единицы:

n = 1, 2, 3, …

Орбитальное квантовое число l определяет орбитальный момент импульса электрона Le:

Le = hl(l +1) ,

4

где h = h /2π , h – постоянная Планка. Квантовое число l может принимать лишь следующий ряд целочисленных значений:

l = 0, 1, 2,…, ( n -1); всего n значений.

Магнитное квантовое число ml определяет ориентацию орбитального момента импульса Le относительно избранного направления z внешнего магнитного поля:

Llz = hml .

Число ml может принимать следующий ряд дискретных значений:

ml = 0, ±1, ±2, …, ± l; всего (2l +1) значений.

Наконец, спиновое квантовое число определяет ориентацию собственного момент импульса электрона Ls относительно избранного направления z внешнего магнитного поля:

Lsz = ms h ,

при этом ms может принимать лишь два значения ½ и -½.

Ватоме водорода энергия в стационарном состоянии E

== E(n), в многоэлектронных атомах E = E(n,l). В соответствии с тем, что n и l могут принимать лишь дискретные ряды значений, энергетический спектр электронов в атомах является также дискретным и состоит из ряда разрешенных уровней E(n,l), разделенных областями запрещенных энергий.

На одном энергетическом уровне En могут находиться несколько электронов, которые в соответствии с принципом

запрета Паули, различаются набором квантовых чисел l, ml и ms. Состояния электронов с одинаковой энергией En называ-

ются вырожденными, а число различных состояний с одинаковым значением энергии называется кратностью вырождения.

Кратность вырождения уровня En с учетом возможных значе-

5

(n−1)

ний l и ml равна ∑(2l +1) = n2 , и на этом уровне, с учетом ms

l=0

могут разместиться 2n2 электронов.

2. Некоторые сведения из квантовой статистики

Твердые тела представляют собой системы, состоящие из огромного числа частиц, подчиняющихся законам квантовой механики. Исследованием таких систем занимается квантовая статистика. Квантовые частицы делятся на две группы: фермионы (частицы с полуцелым спином) и бозоны (частицы с нулевым или целым спином). Они подчиняются разным статистикам.

Распределение бозонов (или иначе бозе-частиц) по энергиям описывается квантовой статистикой Бозе-Эйнштейна и имеет вид

Здесь NБ(E) – среднее число бозонов в квантовом состоянии с энергией Е, k – постоянная Больцмана, Т – термоди-

намическая температура, μ – химический потенциал (он равен приращению внутренней энергии изолированной системы постоянного объема при изменении числа частиц на единицу). Из формулы следует, что в каждом состоянии может находиться любое число бозонов.

Частицы с полуцелым спином описываются квантовой статистикой Ферми-Дирака. Распределение фермионов (или иначе ферми-частиц) по энергиям имеет вид

Здесь NФ (Е) может принимать значения от 0 до 1, по-

этому лучше говорить не о числе частиц, а о вероятности заполнения квантового состояния с энергией Е.

Если e( E −µ ) / кТ >>1, то распределение Бозе-Эйнштейна

где А = еµ / кТ . Величину A можно использовать для характеристики степени вырождения газа и назвать параметром вырождения.

Условие ехр[(Е − µ)/ кТ]>>1 соответствует тому, что E >> µ , а это может быть при высоких температурах. Отсюда

делаем вывод, что при высоких температурах оба «квантовых» газа по своим свойствам подобны классическому газу.

Система частиц называется вырожденной, если её свойства существенным образом отличаются от свойств систем, подчиняющихся классической статистике.

Поведение как бозе-газа, так и ферми-газа отличается от поведения классического газа, они являются вырожденными газами. Вырождение газа становится существенным при весьма низких температурах и больших плотностях.

Если параметр вырождения мал ( А = еµ / кТ << 1), квантовые функции распределения (1) и (2) превращаются в функцию Максвелла-Больцмана, лежащую в основе классической статистики невырожденного газа.

Для характеристики вырождения газа можно использовать также температуру вырождения Т0 - это температура,

ниже которой отчетливо проявляются квантовые свойства идеального газа, т.е. Т0 – температура, при которой вырождение становится существенным. Если Т >> Т0, то систему частиц можно рассматривать как систему, подчиненную классическим законам.

7

3. Вырожденный электронный газ в металлах

Металл для свободных электронов представляет собой потенциальную яму, выход из которой требует совершения работы по преодолению сил связи. Электронный газ в металле является вырожденным и подчиняется статистике ФермиДирака. Согласно принципу Паули свободные электроны в металле не могут располагаться на одном самом низшем энергетическом уровне даже при 0 К и вынуждены последовательно заполнять энергетические уровни в направлении возрастания энергии.

Для фермионов среднее число частиц в квантовом состоянии и вероятность заселённости квантового состояния совпадают, так как квантовое состояние либо может быть не занято, либо в нем будет находиться одна частица. Это означает, что для фермионов

стояниям (2).

Если µ0 – химический потенциал электронного газа при Т = 0 К, то согласно (2) и (4), среднее число электронов N( E )в квантовом состоянии с энергией Е равно

График этой функции приведен на рис.1 а, из которого следует, что при Т = 0 К все нижние квантовые состояния,

вплоть до состояния с энергией, E = µ0 , заняты электронами, а все состояния с энергией, большей µ0 , свободны.

8

Следовательно, µ0 есть максимальная кинетическая

энергия, которую могут иметь электроны проводимости в металле, при 0 К. Величину µ0 принято называть энергией

или уровнем Ферми и обозначать EF .

Энергия Ферми EF рассматривается как параметр рас-

пределения ферми-частиц, а само распределение ФермиДирака обычно записывают в виде

Рис. 1

Для металлов при не слишком высоких температурах выполняется неравенство kТ << EF .

Это означает, что электронный газ в металлах практически всегда находится в состоянии сильного вырождения.

Температура Т0 вырождения находится из условия kТ = EF .

Она определяет границу, выше которой квантовые эффекты перестают быть существенными. Соответствующие расчёты

показывают, что для электронов в металле T0 ≈104 K , т.е. для

всех температур, при которых металл может существовать в твердом состоянии, электронный газ в металле вырожден.

При температурах, отличных от 0 К, функция распределения Ферми-Дирака, плавно изменяется от 1 до 0 в узкой об-

ласти энергий порядка kТ в окрестности EF (рис. 1, б).

9