Учебники 80175

вырожденном состоянии и описывается распределением Фер- ми-Дирака.

С невырожденным электронным газом приходится иметь дело в собственных (беспримесных) и в слаболегированных полупроводниках. Концентрация свободных электронов в таких полупроводниках значительно ниже, чем в метал-

лах, и колеблется в зависимости от содержания активных примесей от 1016 – 1019 до 1023– 1024 м-3. При таких конце н-

трациях электронный газ становится невырожденным и может описываться распределением Максвелла-Больцмана.

4. Энергетическая структура твердых тел

Рассмотрим «процесс образования» твердого тела из N изолированных атомов. Пока атомы изолированы, т.е. находятся друг от друга на макроскопических расстояниях, они имеют совпадающие схемы энергетических уровней (рис. 3), зависящих от главного n и орбитального ℓ квантовых чисел и вырожденных по квантовым числам mℓ и ms.

По мере сближения атомов между ними возникает все усиливающееся взаимодействие, которое приводит к изменению положения уровней. Помимо изменения положения уровней происходит их расщепление, т.е. вместо одного одинакового для всех N атомов уровня возникает N очень близких, но не совпадающих подуровней, занимающих какой-то интервал значений энергии, который называется энергетической зоной.

Если энергетический уровень имел в изолированном атоме (2ℓ + 1)-кратное вырождение по значению mℓ, то соответствующая ему энергетическая зона будет состоять из N (2ℓ + 1) подуровней, на каждом из которых может находиться не более двух электронов с антипараллельными спинами.

Рассмотрим этот вопрос подробнее.

11

В кристаллах расстояние между атомами очень мало (L~ d ~ 10-10 м), поэтому происходит перекрытие их электрических полей. Потенциальные кривые, ранее разграничивающие соседние атомы, теперь частично накладываются друг на друга (рис. 4), что приводит к понижению и сужению потенциального барьера для валентных электронов атомов. В этих условиях существенную роль играет туннельный эффект, т.е. электрон может преодолевать потенциальный барьер, обладая энергией меньшей, чем высота барьера. В результате этого электрон «уходит» от атома и становится принадлежностью всего кристалла, т.е. в определенном смысле свободным.

Рис. 3 Рис. 4

Оценим ширину энергетической зоны на основе соотношения неопределенности для энергии и времени.

Определим естественную ширину энергетических уровней электронов в атомах, находящихся в возбужденных состояниях. Время пребывания атома в возбужденном состоянии τn совпадает со временем нахождения электрона в этом состоянии и составляет примерно 10-8 с, так что t ≈ 10-8 с и

∆E ~ ∆ht ≈10−25 Дж ≈10−6 эВ.

12

Эта ширина значительно меньше, чем расстояние между уровнями энергии изолированного атома, составляющее единицы электронвольт.

Вследствие туннельного эффекта валентный электрон движется по всему кристаллу и время нахождения электрона в

ределяет ширину энергетической зоны.

Ширина зоны не зависит от размера кристалла, а определяется природой атомов, образующих кристалл, и структурой кристалла. Оценим расстояние между энергетическими уровнями в зоне. В кристалле размером 1 см3 содержится N ~ 1022 атомов. При ширине зоны ~ 1 эВ расстояние по энергии между соседними уровнями ~ 10-22 эВ. Эти уровни расположены так близко, что их дискретность можно не учитывать и считать, что энергия в зоне меняется непрерывно. Ограниченное число уровней энергии в зоне необходимо учитывать в определении характера распределения электронов по зонам.

Таким образом, узкий энергетический уровень валентного электрона в изолированном атоме расширяется в кристалле в широкую полосу – зону разрешённых значений энергии электронов шириной порядка нескольких электрон-вольт (рис. 5). Разрешённые энергетические зоны 1 отделены друг от друга зонами 2 запрещённых значений энергии электронов (рис. 6).

Для электронов внутренних оболочек атомов вероятность туннельного перехода электрона от одного атома к другому оказывается очень малой. Это связано с уменьшением прозрачности потенциального барьера. Для барьера прямоугольной формы прозрачность можно вычислить по формуле:

13

где U0 и d - высота и ширина барьера, E – энергия электрона. Для невалентных электронов увеличивается превышение высоты барьера над энергией частицы U0 - E, в результате

чего вероятность просачивания электрона сквозь потенциальный барьер становится ничтожно малой. Следовательно, электроны внутренних оболочек атомов в кристаллах также прочно связаны со «своими» атомами, как и в изолированных атомах. Энергетические уровни этих электронов в кристалле такие же узкие, как и в отдельно взятом атоме.

Итак, можно выделить следующие главные причины расщепления отдельных энергетических уровней в зоны и заселения зон электронами при объединении атомов в кристалл:

1)снятие вырождения по магнитному орбитальному квантовому числу ml;

2)снятие перестановочного вырождения по числу N атомов в кристалле;

3)уменьшение высоты и ширины потенциального барьера, разделяющего соседние атомы, приводящее к увеличению коэффициента прозрачности барьера – туннельному

14

эффекту, что изменяет время пребывания электрона у отдельного атома с 10-8с до 10-15с;

4) вследствие соотношения неопределённостей E t≥ħ. уменьшение времени пребывания электрона у отдельного атома приводит к расширению узкого энергетического уровня в интервал разрешенных энергий - энергетическую зону шириной несколько электронвольт. Значения энергий электронов в пределах разрешённой энергетической зоны квантованы, т.е. дискретны, однако очень малое расстояние между уровнями в зоне позволяет считать, что энергия внутри зоны меняется непрерывно, но число уровней в зоне конечно.

5. Металлы, полупроводники, диэлектрики

Зонная теория твердых тел позволила с единой точки зрения истолковать существование металлов, диэлектриков и полупроводников, объясняя различие в их электрических свойствах, во-первых, неодинаковым заполнением электронами разрешённых зон и, во-вторых, шириной запрещённых зон.

Степень заполнения энергетических уровней в зоне определяется заполнением соответствующих уровней в изолированных атомах. Если при этом какой-то энергетический уровень свободного атома полностью заполнен, то возникающая при образовании кристалла энергетическая зона так же заполнена целиком.

В общем случае можно говорить о валентной зоне, которая полностью заполнена электронами и и образована из энергетических уровней внутренних электронов свободных атомов, и о зоне проводимости (свободной зоне), которая либо частично заполнена электронами и образована из не полностью заполненных энергетических уровней внешних электронов, либо свободна и соответствует ближайшему возбужденному уровню.

15

В зависимости от степени заполнения верхней зоны электронами и ширины последующей запрещённой зоны возможны следующие четыре случая распределения электронов, схематически представленные на рис. 7.

Если в энергетическом спектре валентных электронов твердого тела имеется зона, лишь частично заполненная электронами (рис. 7, а, б), то это тело является проводником электрического тока.

Рис. 7

В этом случае электрон, получив сколь угодно малую энергетическую «добавку», например, за счёт теплового движения или электрического поля, сможет перейти на более высокий энергетический уровень той же зоны. Внутризонный переход вполне возможен, так как, например, уже при Т = 1 К энергия теплового движения кТ ≈ 10-4 эВ, что намного порядков больше разности энергий между соседними уровнями зоны, примерно равной 10-22 эВ. Таким образом, энергия электрона внутри частично заполненной зоны может меняться практически непрерывно и электрон может рассматриваться как свободный и участвовать в проводимости.

Твердые тела, у которых верхняя энергетическая зона, содержащая электроны, при Т = 0 К полностью заполнена электронами, а последующая разрешённая зона пуста (свободная зона) являются или диэлектриками, или полупроводниками, в зависимости от ширины запрещённой зоны ∆E между заполненной и свободной зонами (рис. 7, в, г). Несмотря на то,

16

что электроны полностью заполненной зоны «принадлежат» всему кристаллу и хаотически движутся по всему объему, они не могут участвовать в процессе электропроводности, т.к. не могут изменять свою энергию.

Если запрещённая зона кристаллического вещества достаточно мала (∆E порядка 1 эВ), то переброс электронов из валентной зоны в зону проводимости может быть осуществлён либо путём теплового возбуждения, либо за счёт какого-либо внешнего источника, способного передать электронам энергию ∆E , и вещество является полупроводником (рис. 7, в). Если же ширина запрещённой зоны ∆E более 3 эВ, то кристаллическое тело является. диэлектриком (рис. 7, г).

6. Собственная проводимость полупроводников

К собственным полупроводникам относят химически чистые полупроводники. Классическими примерами собственных полупроводников являются германий (Ge) и кремний (Si) высокой чистоты.

В собственных полупроводниках наблюдаются два механизма проводимости: электронный и дырочный.

При 0 К и отсутствии других внешних факторов собственные полупроводники ведут себя как диэлектрики.

При повышении же температуры электроны с верхних уровней валентной зоны могут быть переброшены на нижние уровни зоны проводимости (рис. 8).

Рис. 8

17

При наложении на кристалл электрического поля электроны в зоне проводимости перемещаются против поля и создают электрический ток. Составляющая проводимости собственных полупроводников, обусловленная электронами, назы-

вается электронной проводимостью или проводимостью n-

типа (от лат. negative – отрицательный).

В результате тепловых забросов электронов из валентной зоны в зону проводимости в валентной зоне возникают вакантные состояния, получившие название дырок. Во внешнем электрическом поле на освободившийся уровень валентной зоны (дырку) в одном месте кристалла может переместиться электрон с соседнего уровня и дырка появится в другом месте, откуда «ушёл» электрон и т.д. Такой процесс заполнения дырок электронами равносилен перемещению дырок в направлении, противоположном движению электронов, как если бы дырка была некоторой частицей и обладала положительным зарядом, равным по величине заряду электрона. Дырка представляет собой условную частицу, или, как говорят, квазичастицу. Составляющую проводимости собственных полупроводников, обусловленную квазичастицами – дырками называют дырочной проводимостью или проводимостью р-

типа (от лат. positive – положительный).

Число электронов в зоне проводимости равно числу дырок в валентной зоне. Следовательно, в собственных полупроводниках концентрация электронов в зоне проводимости

равна концентрации дырок в валентной зоне ne = np .

Определенная концентрация электронов и дырок в полупроводнике при Т = const устанавливается в результате действия двух процессов – термической генерации свободных носителей тока и их рекомбинации. В полупроводнике происходит не только переброс электронов из валентной зоны в зону проводимости, но и переход электронов из зоны проводимости в валентную (дырочную) зону. При обратном переходе элек-

18

трон и дырка связываются, и пара носителей уничтожается. Этот акт называют рекомбинацией носителей.

В собственном полупроводнике уровень Ферми при Т = 0 К находится в середине запрещённой зоны (рис. 9).

Действительно, при появлении электрона в зоне проводимости в валентной зоне обязательно возникает дырка. Следовательно, энергия активации ∆E , затраченная на образование пары носителей тока, должна делиться на две равные части, откуда

EF = ∆2E .

Рис. 9

Плотность тока j при собственной проводимо-

сти полупроводника складывается из плотности тока электронов и дырок:

Обозначим равные друг другу концентрации электронов и дырок n0e = n0p = n0 и средние скорости упорядоченно-

го движения электронов и дырок ve и vp . Тогда

19

Используя формулу закона Ома в дифференциальной

форме

Подставляя (13) в (12), получим, что удельная проводимость собственных полупроводников быстро растёт с температурой, изменяясь по закону

няющаяся с температурой гораздо медленнее, чем экспонента, в связи с чем ее можно в первом приближении считать постоянной.

20