Учебники 80153

Описание метода

Рассмотрим линейную неоднородную систему (2.1). Как указано выше, эта система может быть представлена в матричной форме как AX B. Если А – невырожденная матрица,

то существует обратная матрица A 1 и система (2.1) имеет единственное решение, которое находится по формуле

Получаем следующую структуру программы. а) Определим матрицу B .

б) Вычислим обратную матрицу с помощью функции

Ai:invert(A).

в) Находим решение системы уравнений (значения неизвестных) по формуле (2.3). Умножение матриц реализуется с помощью бинарной операции ″.″ (точка).

3) Решим систему уравнений с помощью специальной функции пакета Maxima, которая реализует метод Гаусса.

Описание метода

Методом Гаусса называют точный метод решения невырожденной системы ( 0) линейных алгебраических уравнений, состоящий в том, что последовательным исключением неизвестных систему

приводят к эквивалентной системе с треугольной матрицей

решение которой находят по рекуррентным формулам

Существует много вариантов этого метода. Рассмотрим

схему с выбором главного элемента. Предположим, что в ис-

ходной системе (2.4) a11 0, и разделим обе части первого уравнения системы на a11. В результате получим

(2.6) исключим во всех уравнениях системы (2.4), начиная со второго, слагаемые, содержащие x1. Для этого умножаем обе части уравнения (2.6) последовательно на a21, a31, …, an1 и

вычитаем соответственно из второго, третьего, …, n-го уравнения системы (2.4). В результате получаем систему, порядок которой на единицу меньше порядка исходной системы:

В результате n-кратного повторения этого преобразования получим систему (2.5) с треугольной матрицей, которая эквивалентна системе (2.4) и легко решается следующим образом. Из последнего уравнения находим xn , подставляя xn в

предпоследнее уравнение, найдем xn 1, затем xn 2 и т.д. до x1,

которое находим из первого уравнения системы.

Таким образом, вычисления по методу Гаусса распадаются на два этапа: на первом этапе, называемом прямым ходом метода Гаусса, исходную систему преобразуют к треугольному виду. На втором этапе, который называют обратным ходом, решают треугольную систему (2.5), эквивалентную исходной.

Коэффициенты a11, a221 , a332 , … называют ведущими элементами метода Гаусса. На каждом шаге предполагалось,

что akkk 1 0. Если окажется, что это не так, то в качестве ве-

дущего элемента можно использовать любой другой ненулевой коэффициент системы. Однако, если коэффициент akkk 1 мал,

то после деления на этот элемент и вычитания k -го уравнения из последующих возникают большие погрешности округления. Чтобы избежать этого, на каждом этапе уравнения переставляют так, чтобы на главной диагонали оказался наибольший по модулю элемент k -го столбца. Если матрица системы хорошо обусловлена, то в методе Гаусса с выбором главного элемента погрешности округления невелики.

Получаем следующую структуру программы.

а) Определим заданную систему уравнений как список: eq1:первое уравнение системы

.....................................................

eq4:четвертое уравнение системы

б) С помощью функции

linsolve список уравнений через запятую ,

список переменных через запятую

находим решение системы в виде рациональных дробей.

в) С помощью функции float(%) получаем решение системы в виде десятичных дробей.

4) Решим систему уравнений с помощью специальной функции пакета Maxima, исключив одну строку из заданной системы уравнений. Такая система называется недоопределенной. Решается она методом Гаусса.

Описание метода

Пусть задана система из m линейных уравнений с n неизвестными x1, x2, , xn (n m):

называется расширенной матрицей системы (2.7).

Теорема Кронекера-Капелли. Система линейных урав-

нений (2.7) совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы A равен рангу расширенной матрицы системы A.

Если r A r A n, то система имеет единственное решение. Если r A r A n, то система имеет бесконечное множество решений.

Рангом rangA r A матрицы A называется набольший

размер (порядок) ее минора, отличного от нуля.

Ранг матрицы не изменяется при следующих преобразованиях называемых элементарными:

1) перестановке двух любых строк матрицы;

2)умножении строки матрицы на любое число, отличное

от нуля;

3)сложении двух любых строк матрицы, умноженных на любые числа;

4)вычеркивании строк матрицы, состоящих из нулей. Матрицы, полученные одна из другой при помощи ко-

нечного числа элементарных преобразований, называются эквивалентными, что обозначается так: A A .

При помощи определенных выше элементарных преобразований, выполняемых только над строками расширенной мат-

рицы A, эту матрицу приводят к ступенчатому (треугольно-

му) виду (прямой ход метода Гаусса):

(i k, k 1, , n), и r A r A . По полученной матрице A

составляют систему уравнений с новыми коэффициентами. Утверждения о том, что полученная система совместна и определена, верны и для системы (2.7). Решение полученной системы уравнений начинают с последнего уравнения (обратный ход метода Гаусса).

Запишем систему уравнений, соответствующую расширенной матрице (2.9):

Cn k :

1

xk akk bk ak,k 1C1 aknCn k .

Подставляя это значение в предпоследнее уравнение системы (2.10), получим выражение, однозначно задающее xk 1 через

xn Cn k соответствует единственное решение системы (2.10)

и системы (2.7):

Общим решением системы (2.7) называется множество всех ее решений, записанных в виде формулы (2.11), выражающей произвольное решение системы в виде функций от n k свободных переменных.

Получаем следующую структуру программы.

а) С помощью функции

linsolve список трех уравнений через запятую ,

список всех четырех переменных через запятую

находим решение системы в виде рациональных дробей. В это решение в общем случае входит параметр %r1, которым обозначена произвольная постоянная.

б) С помощью функций float(%) получаем решение системы в виде десятичных дробей.

Замечание. Результаты расчетов первыми тремя методами должны быть одинаковыми.

Пример выполнения лабораторной работы

1) а)

(%i) A:matrix([16.000,0.0688,0.0829,0.097], [0.0496,15.100,0.0777,0.0918], [0.0444,0.0585,14.200,0.0867], [0.0393,0.0534,0.0674,13.300]); (%i) A1:matrix([24.4781,0.0688,0.0829,0.097], [26.0849,15.100,0.0777,0.0918], [27.3281,0.0585,14.200,0.0867], [28.2078,0.0534,0.0674,13.300]);

(%i) A2:matrix([16.000,24.4781,0.0829,0.097], [0.0496,26.0849,0.0777,0.0918], [0.0444,27.3281,14.200,0.0867], [0.0393,28.2078,0.0674,13.300]); (%i) A3:matrix([16.000,0.0688,24.4781,0.097], [0.0496,15.100,26.0849,0.0918], [0.0444,0.0585,27.3281,0.0867], [0.0393,0.0534,28.2078,13.300]);

(%i)A4:matrix([16.000,0.0688,0.0829,24.4781],

[0.0496,15.100,0.0777,26.0849],

[0.0444,0.0585,14.200,27.3281],

[0.0393,0.0534,0.0674,28.2078]);

б)

(%i) D:determinant(A); (%o) 45622.91574834954 (%i) D1:determinant(A1); (%o) 68434.17297928415 (%i) D2:determinant(A2); (%o) 77559.2294827067 (%i) D3:determinant(A3); (%o) 86683.47495972337 (%i) D4:determinant(A4); (%o) 95808.15720162001

в)

(%i) x1:D1/D;

(%o) 1.499995602139038 (%i) x2:D2/D;

(%o) 1.700005977489777 (%i) x3:D3/D;

(%o) 1.899998576107211 (%i) x4:D4/D;

(%o) 2.100000748090853

2) а)

(%i) B:matrix([24.4781],[26.0849],[27.3281], [28.2078]);

б)

(%i) Ai:invert(A);

в)

(%i) X:Ai.B;

(%o) 1.499995602139037 (%o) 1.700005977489777 (%o) 1.899998576107211 (%o) 2.100000748090853

3) а)

(%i) eq1:16.0*y1+0.0688*y2+0.0829*y3+ 0.097*y4=24.4781;

(%i) eq2:0.0496*y1+15.1*y2+0.0777*y3+ 0.0918*y4=26.0849;

(%i) eq3:0.0444*y1+0.0585*y2+14.2*y3+ 0.0867*y4=27.3281;

(%i) eq4:0.0393*y1+0.0534*y2+0.0674*y3+ 13.3*y4=28.2078;

б)

(%i) linsolve([eq1,eq2,eq3,eq4], [y1,y2,y3,y4]);

(%o) y1=478040524899194805031843959245000/ 318694618512637157968907245987653, y2=77397536445403545863871909557500/ 45527802644662451138415320855379, y3=201839777316305567697350168575000/ 106231539504212385989635748662551, y4=223086313388398314971474405277500/ 106231539504212385989635748662551

в)

(%i) float(%); (%o)y1=1.49999559807515,y2=1.700005973261646,

y3=1.899998609248264,y4=2.100000757115567

4) а)

(%i) linsolve([eq1,eq3,eq4],[y1,y2,y3,y4]); (%o) y1=(21783757573072975995606*%r1-

15166439579810107370000)/

20386371703827553324173, y2=-(5119915864062071052727383*%r1-

10786484144567992567160000)/

20386371703827553324173,

y3=(995239372181974740366*%r1245523535812868090000)/ 970779604944169205913,

y4=%r1

б)

(%i) 21783757573072975995606/ 20386371703827553324173

(%i) float(%);

(%o) 1.068545099125366

(%i) 15166439579810107370000/ 20386371703827553324173

(%i) float(%);

(%o) 0.743949919100249

(%i) 5119915864062071052727383/ 20386371703827553324173

(%i) float(%);

(%o) 251.1440455635764

(%i) 10786484144567992567160000/ 20386371703827553324173

(%i) float(%);

(%o) 529.1026918018384

(%i) 995239372181974740366/ 970779604944169205913

(%i) float(%);

(%o) 1.025196004441412

(%i) 995239372181974740366/ 970779604944169205913

(%i) float(%);

(%o) 0.252913776270556

Результат y1=1.068545099125366C-0.743949919100249 y2=-251.1440455635764C+529.1026918018384

y3=1.025196004441412C-0.252913776270556 y4=C

Контрольные вопросы

1.Как записывается система линейных уравнений?

2.Где в курсе «Теория вероятностей и математическая статистика» встречаются системы линейных уравнений?

3.Как решается система линейных уравнений по формулам Крамера?

4.Каким образом реализуется метод Крамера в пакете

Maxima?

5.Как решаются системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы?

6.Каким образом производится решение системы с помощью обратной матрицы в пакете Maxima?

7.Какие преобразования системы производят на первом этапе (прямой ход метода Гаусса)?

8.Какие действия производят на втором этапе (обратный ход метода Гаусса)?

9.Что означает выбор главного (ведущего) элемента в методе Гаусса и зачем он выполняется?

10.Каким образом реализуется метод Гаусса в пакете

Maxima?

11.В чем заключаются преимущества и недостатки рассмотренных методов?

12.Какие системы называются недоопределенными? Каким методом решаются такие системы?

Форма отчетности: Отчет должен содержать название лабораторной работы, задание для конкретного варианта, все командные строки, названия методов, результаты расчетов (в десятичных дробях три цифры после запятой).

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 3

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ

Если задана аналитически функция одного переменного f x , то в общем случае можно найти производную этой

функции первого порядка f x , второго порядка f x и т.д.

Если задана аналитически функция нескольких переменных f x1, x2, , xn , то в общем случае можно найти частные

го дифференцирования используется численное дифференцирование. Оно применяется тогда, когда функцию трудно или невозможно продифференцировать аналитически. Например, необходимость в численном дифференцировании возникает в том случае, когда функция задана таблицей. Кроме того, формулы численного дифференцирования широко используются при разработке вычислительных методов решения многих задач (решение дифференциальных уравнений, поиск решений нелинейных уравнений, поиск точек экстремума функций и др.).

Описание метода численного дифференцирования

Предположим, что в окрестности точки x функция f дифференцируема достаточное число раз. Исходя из определения производной

естественно попытаться использовать для ее вычисления две простейшие приближенные формулы:

x h. Здесь h 0 – малый параметр (шаг). Разностные отношения в правых частях формул (3.1) и (3.2) называют правой и левой разностными производными.

Для оценки погрешностей введенных формул используют формулы Тейлора. Откуда получают, что левая и правая разностные производные аппроксимируют производную f x с

первым порядком точности по h.

Приведенные формулы численного дифференцирования имеют простую геометрическую интерпретацию (рис. 4, а). Пусть N0, N и N – расположенные на графике функции

тангенсу угла наклона к оси Ox касательной, проведенной к графику функции в точке N0.

Формула (3.1) соответствует приближенной замене производной f x tg правой разностной производной

функции секущей, проведенной через точки N0 и N .

Формула (3.2) соответствует аналогичной замене левой

ла секущей, проходящей через точки N0 и N .

Естественно предположить (рис. 4, а и б), что лучшим по сравнению с tg и tg приближением к f x tg явля-

ется тангенс угла наклона 0 секущей к графику, проведенной через точки N и N . Соответствующая приближенная фор-

Величину в правой части этой формулы называют центральной разностной производной. Подставляя в выражение для погрешности

f x f x h f x h

2h

соответствующие разложения по формуле Тейлора, получим, что центральная разностная производная аппроксимирует производную f x со вторым порядком точности относительно

h.

Для вычисления f x можно получить формулы любого

порядка точности. Однако в таких формулах с ростом порядка точности возрастает и число используемых значений функции.

Наиболее простой и широко применяемой для приближенного вычисления второй производной является следующая

Величину в правой части этого приближенного равенства на-

зывают второй разностной производной. Используя разложе-

ния по формуле Тейлора, можно получить, что формула для второй разностной производной имеет второй порядок точности.

Хотя простейшие формулы численного дифференцирования можно получить сравнительно элементарно, для вывода и анализа таких формул в более сложных случаях необходимо использовать значительно более серьезный математический аппарат. Заметим, что основой для построения различных приближенных формул вычисления производных являются методы теории приближения функций.

Несмотря на внешнюю простоту формул численного дифференцирования, их применение требует особой осторожности. Отметим, что используемые при численном дифференцировании значения функции f x непременно содержат

ошибки. Поэтому к погрешности аппроксимации формул численного дифференцирования добавляется неустранимая погрешность, вызванная погрешностями вычисления функции f . Для того чтобы погрешность аппроксимации была достаточно малой, требуется использование таблиц с малыми шагами h. Однако при малых шагах формулы численного дифференцирования становятся плохо обусловленными и результат их применения может быть полностью искажен неустранимой ошибкой. Важно понимать, что действительная причина этого явления

лежит не в совершенстве предложенных методов вычисления производных, а в некорректности самой операции дифференцирования приближенно заданной функции.

Если задана функция одного переменного f x , то в об-

щем случае можно аналитически найти первообразную этой

функции (неопределенный интеграл) f (x)dx, а также опре-

b

деленный интеграл f (x)dx. Если задана функция двух

a

переменных f (x, y), то в общем случае можно аналитически

найти двойной интеграл f (x, y)dxdy, где интегрирование

D

ведется по области D. К сожалению, в подавляющем большинстве случаев получить значение интеграла с помощью аналитических методов не удается. Также невозможно найти точное значение интеграла, когда функция f x задана

таблицей своих значений. В этих случаях для вычисления значения определенного или двойного интеграла применяют специальные численные методы. Рассмотрим простейшие приближенные методы вычисления определенных интегралов.

Приближенное вычисление интегралов методом прямоугольников

b

Будем интерпретировать интеграл I f x dx как пло-

a

щадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции y f x (при f x 0), осью абсцисс и прямыми x a, x b (рис. 5). Разобьем отрезок a, b на элементарные отрез-

ки xi 1, xi точками a x0 x1 xn b. Для простоты шаг

площади исходной криволинейной трапеции на сумму площа-

дей элементарных криволинейных трапеций.

Заменим приближенно площадь элементарной криволинейной трапеции площадью прямоугольника, основанием которого является отрезок xi 1, xi , а высота равна значению

yi 1 f xi 1 . Так мы приходим к элементарной квадратур-

ной формуле левых прямоугольников: Ii hyi 1. Производя та-

кую замену для всех элементарных криволинейных трапеций,

получаем составную квадратурную формулу левых прямо-

n 1

угольников: I Sл.пр. h y0 y1 yn 1 h yi . Эта фор-

i 0

мула соответствует приближенной замене площади исходной криволинейной трапеции площадью ступенчатой фигуры, изображенной на рис. 5.

y

y1 y2 yn-1

y0

Рис. 5

Заменим приближенно площадь элементарной криволинейной трапеции площадью прямоугольника, основанием которого является отрезок xi 1, xi , а высота равна значению

yi f xi . Так мы приходим к элементарной квадратурной формуле правых прямоугольников: Ii hyi . Производя такую

замену для всех элементарных криволинейных трапеций, по-

лучаем составную квадратурную формулу правых прямоуголь-

n

ников: I Sпр.пр. h y1 y2 yn h yi .

i 1

Заменим приближенно площадь элементарной криволинейной трапеции площадью прямоугольника, основанием которого является отрезок xi 1, xi , а высота равна значению

yi 12 f xi 1 h2 , т.е. значению функции в середине отрез-

ка xi 1, xi . Так мы приходим к элементарной квадратурной формуле центральных прямоугольников: Ii hyi 1 2 . Производя

такую замену для всех элементарных криволинейных трапе-

ций, получаем составную квадратурную формулу центральных прямоугольников:

n

ISц.пр. h y12 y32 yn 12 h yi 12 .

i1

Отметим, что формулы левых и правых прямоугольников имеют первый порядок точности относительно h, а формула центральных прямоугольников имеет второй порядок точности.

Приближенное вычисление интегралов методом трапеций

В методе трапеций площадь элементарной криволинейной трапеции приближенно заменяется площадью прямо-

угольной трапеции. Высота такой трапеции равна h, а длины оснований равны yi 1 f xi 1 и yi f xi Геометрическая

иллюстрация метода приведена на рис. 6. Соответствующая формула для площади элементарной криволинейной трапеции

элементарных криволинейных трапеций, получаем составную квадратурную формулу трапеций:

Отметим, что формула трапеций имеет второй порядок точности.

y

yi

yi-1 yi+1

Рис. 6

Приближенное вычисление интегралов методом Симпсона

В методе Симпсона (методе парабол) площадь элемен-

тарной криволинейной трапеции заменяется площадью фигуры, расположенной под параболой (рис. 7). Так как число элементарных отрезков разбиения четно, то в качестве элементарного отрезка используется отрезок длины 2h. Соответствую-

щая формула для площади элементарной криволинейной тра-