Учебники 8088

m0 геологоразведочных партий, где m0 – ближайшее целое к найденному числу xmax .

5.3.Контрольные вопросы и задания

1.Какие события называются гипотезами? Каким условиям они должны удовлетворять?

2.Как связано рассматриваемое событие с соответствующими гипотезами?

3.Однозначна ли система гипотез, как следует поступать, если система гипотез неоднозначна?

4.Что такое априорная вероятность гипотезы?

5.Запишите формулу полной вероятности.

6.Что такое апостериорная вероятность гипотезы?

7.Запишите формулу Байеса.

8.Для чего используется формула Байеса?

9.Как поступают, если гипотезы Hk непосредственно не

наблюдаемы? Приведите примеры из экономики.

5.4.Задачи для самостоятельной работы

1.Решите задачи №№ 90, 93-96, 99, 101, 102, 107, 109 [2].

2.Фирма собирается выпускать новый товар на рынок. Подсчитано, что вероятность хорошего сбыта равна 0,6, плохого – 0,4. Компания решила провести маркетинговое исследование, вероятность правильности которого равна 0,8. Как изменится первоначальная вероятность уровня реализации, если это исследование предскажет плохой сбыт?

3.Какова должна быть сумма страхового взноса за дом, оцененный в 100000 $, чтобы страховая компания могла полностью возместить убытки, если установлено, что в течение года подвергаются разрушению 2 % подобных домов? Из них 5 % восстановлению не подлежат, для 25 % убытки составляют 1000 $, а для остальных убытки составляют 500 $.

4. Фирма имеет 3 поставщика комплектующих – фирмы A, B и C . На долю фирмы A приходится 50 % общего объема поставок, фирмы B – 30 % и фирмы C – 20 %. Из практике известно, что 10 % поставляемых фирмой A деталей бракованные, фирмой B – 5 % и фирмой C – 6 %. Выбранная наудачу деталь оказалась бракованной. Какова вероятность, что она получена от фирмы A?

Форма отчетности: устный опрос, типовой расчет, экза-

мен.

Занятие № 6

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ НЕЗАВИСИМЫХ ИСПЫТАНИЙ. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ

6.1.Основные понятия

Вряде важнейших приложений теории вероятностей рассматривается следующая стандартная схема. Некоторый опыт повторяется без изменений n раз и каждый раз наблюдается произошло ли некоторое событие A. Известна вероятность p

события A в одном опыте, требуется найти вероятность того, что в n опытах событие A наступит m раз. Описанная схема называется схемой испытаний Бернулли. Формула искомой вероятности (формула Бернулли) имеет вид

где q 1 p. При решении задач на эту тему необходимо установить, что рассматриваемый эксперимент удовлетворяет схеме испытаний Бернулли, т.е. необходимо проверить, что:

1)проводимые испытания независимы;

2)каждое испытание имеет два исхода (успех и неуспех);

3) вероятность появления события (вероятность успеха) в каждом испытании постоянна и равна p .

Если рассматривать Pn m как функцию m, то она зада-

ет распределение вероятностей, которое называется биноми-

достигает наибольшего значения. Найдем m0 . По смыслу чис-

Итак, искомое число m0 удовлетворяет двойному неравенству

Так как p q 1, то имеется, по крайней мере, одно целое чис-

ло m0 , удовлетворяющее неравенствам (6.4). Это число m0

называется наиболее вероятностным или наивероятнейшим значением появления события A в серии из n испытаний. Если число np q – целое, то наивероятнейшее число успехов

имеет два значения: m1 np q и m2 np p.

Формула Бернулли позволяет найти вероятность того, что в серии n независимых испытаний в схеме Бернулли некоторое событие наступит ровно m раз. Однако на практике часто требуется находить вероятность того, что событие наступит не более или не менее какого-либо числа k раз, или хотя бы один раз. Приведем формулы для вычисления этих вероятностей.

Вероятность произойти событию не более k раз в серии из n испытаний равна

P m k P A0 A1 Ak P A0 P A1 P Ak

Здесь через Am обозначено событие, состоящее в наступлении m успехов в n испытаниях, и учтена несовместность событий Am при различных m.

Аналогично находится вероятность произойти событию не менее k раз в n испытаниях:

P m k P Ak Ak 1 An P Ak P Ak 1

Эту вероятность можно записать по-другому, переходя к противоположному событию:

k 1

Pn m k 1 P m k 1 P m k 1 1 Cnmpmqn m

m 0

(6.7)

Вероятность того, что событие произойдет не менее k1

раз и не более k2 раз будет равна

k2

P k1 m k2 P Ak1 P Ak1 1 P Ak2 Cnmpmqn m

m k1

(6.8)

Вероятность произойти событию хотя бы один раз в n испытаниях может быть вычислена по формуле (6.7), которая в этом случае принимает следующий вид

На практике нередко встречаются случаи, когда требуется находить вероятность по формуле Бернулли (6.1) при больших значениях n. В этих случаях вычисления становятся очень громоздкими, в особенности, если к тому же p мало. Для вычисления вероятностей в этих случаях получены приближенные асимптотические формулы.

Теорема Пуассона. Если n и p 0 так, что np (0 ), то вероятность того, что в n испытаниях событие наступит ровно m раз, удовлетворяет соотношению

для любого фиксированного m 0,1, 2,

Таким образом, при достаточно большом n и при малых p вместо точной формулы Бернулли (6.1) для вычисления вероятностей можно пользоваться приближенной формулой

Соотношение (6.11) называется формулой или распределением Пуассона. Из-за малости значений p распределение Пуассона называют также законом распределения редких событий.

Замечание. Если p близко к единице, то мало q 1 p и приближенной формулой (6.11) можно пользоваться для вычисления вероятности числа «неуспехов» в n испытаниях.

В тех случаях, когда n велико, а оба параметра p и q значительно отличны от нуля. Используются другие приближенные формулы, вытекающие из предельных теорем МуавраЛапласа.

Локальная теорема Муавра-Лапласа. Если в схеме Бернулли вероятность p удовлетворяет условию 0 p , то для вероятности того, что в n испытаниях событие наступит ровно m раз, выполняется при n соотношение

Отметим, что чем ближе вероятность p к 0,5, тем при более низких значениях n приближенная формула (6.13) дает хорошее приближение вероятности Pn m к ее точному значе-

нию.

При большом числе испытаний в схеме Бернулли вместо вычисления появления события ровно m раз часто бывает достаточно оценить вероятность того, что число m наступлений

события лежит в определенных границах. Такую оценку позволяет получить следующая теорема.

Интегральная теорема Муавра-Лапласа. Если в схеме Бернулли вероятность p удовлетворяет условию 0 p , то при n выполняется

Практическое применение интегральной теоремы Муав- ра-Лапласа основано на приближенном равенстве

6.2. Примеры решения задач

Пример 1. Система автоматического управления (САУ) космического летательного аппарата состоит из шести основных узлов, вероятность выхода из строя каждого из которых при динамических перегрузках равна 0,3. При выходе из строя трех или меньшего числа узлов САУ из строя не выходит. При выходе из строя четырех узлов вероятность выхода САУ из строя равна 0,3, при выходе из строя пяти узлов – 0,7, при вы-

ходе из строя шести узлов – 1. Определить вероятность выхода САУ из строя при динамических перегрузках (событие A).

Решение. Вероятности выхода из строя четырех, пяти и шести узлов находим по формуле Бернулли (6.1):

P6 6 C66 p6q0 1 0,36 1 0,0007 .

По формуле полной вероятности находим вероятность выхода САУ из строя:

P A 0,0595 0,3 0,0102 0,7 0,0007 1 0,0257 .

Пример 2. В ячейку памяти ЭВМ записывается 8- разрядное двоичное число. Значения 0 и 1 в каждом разряде появляются с равной вероятностью. Найти вероятность того, что число единиц будет больше пяти.

Решение. Так как n 8, а p q 0,5, то искомая вероятность согласно формуле (6.6) будет равна

P8 m 5 P8 6 P8 7 P8 8 C86p6q2 C87 p7q C88p8

Пример 3. Вероятность отказа каждого прибора при испытании не зависит от отказов остальных приборов и равна 0,2. Испытано 10 приборов. Найти наиболее вероятное число отказавших приборов и соответствующую вероятность.

Так как между числами 1,2 и 2,2 заключено одно целое число 2, то искомое наивероятнейшее число m0 2. Соответствую-

щая вероятность равна P10 2 C102 0,220,88 0,302.

Пример 4. Большая партия изделий содержит 5% брака. Сколько изделий необходимо проверить, чтобы вероятность встретить среди них хотя бы одно бракованное была не мень-

ше 0,97?

Решение. Рассмотрим испытание: выбор одного изделия. Эти испытания независимы, каждое испытание имеет два исхода – хорошее или бракованное изделие, вероятность извлечения бракованного изделия в каждом испытании постоянна и равна p 0,05. Видно, что эти испытания относятся к схеме Бернулли. Пусть событие A {среди выбранных n изделий

1 0,95n . По условию задачи 1 0,95n 0,9 или 0,95n 0,1.

Логарифмируя, получаем n lg0,1 44,9. Таким образом, lg0,95

необходимо проверить не менее 45 изделий.

Пример 5. Аппаратура состоит из 1000 элементов, каждый из которых независимо от остальных выходит из строя за время T с вероятностью 0,0005. найти вероятности следующих событий: А={за время T откажут ровно 3 элемента}, В={за время T откажет хотя бы один элемент}, С={за время T откажет не более 3 элементов}.

Решение. По условию n 1000 , p 0,0005, q 0,9995.

Так как число испытаний n 1000 очень велико, а вероятность наступления события в одном испытании p 0,0005 очень мала, то при решении задачи необходимо воспользоваться формулой Пуассона (6.11). Имеем np 0,5. Тогда

P A P1000 3 0,53 e 0,5 0,012 ;

3!

P B 1 P B 1 P1000 0 1 0,50 e 0,5

0!

1 0,60653 0,393;

P C P1000 0 P1000 1 P1000 2 P1000 3

0,50 e 0,5 0,51 e 0,5 0,52 e 0,5 0,53 e 0,5 0,998. 0! 1! 2! 3!

Пример 6. По данным ОТК завода 80% всего объема выпускаемых микросхем не имеет дефектов. Найти вероятность того, что среди взятых наугад 400 микросхем дефекты будут иметь 70 микросхем.

Решение. По условию n 400, p 0,2, q 0,8. Так как число испытаний n 400 достаточно велико, а вероятность наступления события в одном испытании p 0,2 не мала, то при решении задачи необходимо воспользоваться локальной теоремой Муавра-Лапласа, т.е. приближенной формулой (6.13).

лицы находим 1,25 0,1826. Тогда искомая вероятность

P400 70 1 0,1826 0.0228. 8

Пример 7. В условиях предыдущей задачи найти вероятность того, что дефекты будут иметь: а) не менее 70 и не более 96 микросхем; б) не менее 75 микросхем; в) не более 60 микросхем.

Решение. При решении задачи необходимо воспользоваться интегральной теоремой Муавра-Лапласа, т.е. приближенной формулой (6.16).

а) Вычисляем

Учитывая, что функция Лапласа нечетна, т.е. x x ,

получим P400 70 m 96 2 1,25 2 1,25 . По таблице найдем 2 0,4772; 1,25 0,3944. Искомая

вероятность P400 70 m 96 0,4772 0,3944 0,8716. б) Вычисляем

вероятность P400 0 m 60 2,5 10 2,5

10 0,4938 0,5000 0,0062.

Пример 8. В условиях примера 6 найти с вероятностью 0,9 границы, в которых будет заключено число m дефектных микросхем среди взятых наугад 400 микросхем.

Решение. По условию n 400, p 0,2, q 0,8; а данная вероятность равна

6.3.Контрольные вопросы и задания

1.Что такое схема Бернулли?

2.Как определяется вероятностное пространство для одного, двух и нескольких испытаний в схеме Бернулли?

3.Как выводится формула Бернулли?

4.Как ведет себя вероятность Pn m с увеличением m?

5.В каком случае наивероятнейшее число успехов имеет два значения?

6.В каких случаях используется формула Пуассона?

7.В каких случаях используются локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа?

8.Назовите свойства функций x и x .

6.4.Задачи для самостоятельной работы

Решите задачи №№ 111-113, 115, 121, 122, 126, 127, 134, 143, 148, 151, 153, 156, 158, 178, 180 [2].

Форма отчетности: устный опрос, типовой расчет, экза-

мен.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1.Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика / В.Е. Гмурман. М.: Высш. шк., 1998.

2.Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике / В.Е. Гмурман. М.: Высш. шк., 2006.