Учебники 8075

Тогда

AB

12; 9 ,

AC

10;5 . Эти векторы являются

направляющими

векторами прямых, на которых лежат

x x0

y y0

.

В результате получим

l

m

x 8

y 3

( AB ),

12

9

x 8

y 3

( AC ).

10

5

Разрешая эти уравнения относительно y , т.е. приводя их

к виду уравнения прямой с угловым коэффициентом

y kx b ,

найдем kAB

3

, kAC

1

.

4

2

векторами AB и

AC

и

для

его

нахождения можно

использовать формулу

cosA

AB

AC

,

AB

AC

cosA

12 10 9 5

75

1

0,4472.

(12)2 ( 9)2 (10)2

(5)2

15 5 5

5

По

таблице

найдем

значение

угла

A:

<A 1,11 рад.

Из

рисунка

видно, что вектор нормали к прямой AB

является

направляющим

вектором высоты CD, т.е.

n

AB 3;4

a

CD,

и

можно

вновь воспользоваться

каноническим уравнением прямой на плоскости

x 2

y 8

(CD).

3

4

(3)

2

(4)

2

5

xE

xB xC

4 2

3;

yE

yB yC

6 8

1.

2

2

2

1

M

1

(x , y ) и M

2

(x

2

, y

2

):

x x1

y y1

. Тогда получим

1 1

x

2

x

y

2

y

1

1

x 3

y 1

или

x 3

y 1

( AE ).

3 1

8 3

11

2

2x 11y 17 0 (AE)

.

4x 3y 16 0 (CD)

5

Отсюда получим K

,2

.

2

Задача №2

Даны координаты вершин пирамиды A1A2A3A4:

A1(2, 1,1), A2(5,5,4), A3(3,2, 1) ,

A4(4,1,3). Найти:

1)

длину ребра A1A2;

A1A2

A1A4;

2)

угол между ребрами

и

3)

уравнение плоскости

A1A2A3

и угол между ребром

A1A4 и плоскостью

A1A2A3;

A1A2 (3, 6, 3); A1A3

(1,3, 2);

A1A4 (2, 2, 2).

Угол между ребрами

A1A2 и A1A4 совпадает с углом

между векторами

A1A2

и

A1A4

. Определим этот угол,

используя формулу скалярного произведения векторов:

A1A2

A1A4

A1A2

A1A4

cos .

Отсюда

cos

A1A2

A1A4

3 2 6 2 3 2

24

2 2

.

A A

A A

9 36 9 4 4 4

54 12

3

1

2

1

4

x x1

y y1

z z1

x2 x1

y2 y1

z2 z1

0.

x3 x1

y3 y1

z3 z1

Подставляя в уравнение координаты точек

A1, A2 и A3

получим

x 2

y 1

z 1

0,

3

6

3

1

3

2

или

x 2

y 1

z 1

3

6

3

1

3

2

(x 2)

6

3

(y 1)

3

3

(z 1)

3

6

3

2

1

2

1

3

21(x 2) 9(y 1) 3(z 1) 21x 9y 3z 48 0.

Таким образом, уравнение плоскости A1A2A3

имеет вид

x 2

y 1

z 1

.

2

2

2

Угол между прямой

x x1

y y1

z z1

и

m

n

l

sin

( 21) 2 9 2 3 2

18

3

.

( 21)2 92 32

22 22 22

531 12

177

3

Отсюда

arcsin

.

177

4) Уравнение высоты найдем как уравнение прямой,

проходящей через точку

A4

перпендикулярно плоскости

A1A2A3,

задаваемой

уравнением Ax By Cz D 0.

Из

условия

перпендикулярности

прямой

и плоскости

следует

A

B

C

, поэтому уравнение высоты A D имеет вид

l m

n

4

21

9

3

формулу

V

1

S

.

Объем

и площадь

A A A

A D

V

4

SA A A

3

1

2

3

будут

найдены

в

п.5).

Поэтому

1

2

3

3V

18

.

A D

4

SA1A2A3

531

5)

Грань

A1A2A3

представляет собой

треугольник,

построенного на векторах A1A2

и

A1A3 .

Найдем векторное произведение этих векторов. Имеем

i

j

k

21, 9, 3 .

3

6

3

9

A1A2

A1A3

21i

j

3k

1

3

2

( 21)2

92

32

.

A A

A A

531

1

2

1

3

Следовательно,

1

.

S

531

A A A

A A

A A

2

1

2

1 3

2

1

2

3

пирамиды

равен

1

части объема

этого параллелепипеда.

Имеем

6

3

6

3

18.

1 3

2

A1A2

A1A3

A1A4

2

2

2

Поэтому

V

1

| 18| 3.

6

прямой. Расстояние между точками M1(x1, y1) и

M2(x2, y2)

вычисляется по формуле

.

M M

(x

2

x )

2 (y

2

y )2

1

2

1

1

По

условию

задачи

MO

MA

,

поэтому

.

x2 y2

(x 3)2 (y 4)2

Возведем

обе части

уравнения

в

квадрат.

Приводя

подобные члены, получим

6x 8y 25 0.

Это

и

есть уравнение

искомого

3x1

x2

3x3

x4

12;

2x2

4x3

x4

13;

x1

2x

x

2

5x

3

2x

4

9;

1

x

x

2

x

3

x

4

4.

1

3

1

3

1

12

1

2

4

1

13

1

5

2

9

2

1

1

1

4

1

Поменяем местами первую и четвертую строки этой

матрицы

1

1

1

1

4

1

2

4

1

13

1

5

2

9

.

2

3

1

3

1

12

Сложим первую

и

вторую

строки матрицы. Затем

1

1

1

1

4

0

3

5

2

17

3

7

0

17

.

0

4

6

4

24

0

Сложим вторую и третью строки матрицы. Затем

умножим вторую строку на

4, а четвертую на 3 и сложим эти

строки. Получим матрицу вида

1

1

1

1

4

0

3

5

2

17

0

2

2

0

.

0

0

2

4

4

0

1

1

1

1

4

0

3

5

2

17

.

0

2

2

0

0

0

0

2

4

0

Полученной матрице соответствует система уравнений

вида

x1 x2 x3

x4 4;

3x2 5x3 2x4

17;

2x3 2x4

0;

2x4 4.

Из последнего уравнения находим

x4 2. Из третьего

уравнения

находим,

что

x3 2.

Из

второго

уравнения

следует,

что 3x2 17 5x3 2x4

17 10 4 3. Откуда

x2 1. Подставив найденные значения

x1, x2, x3

в первое

уравнение, получим x1 4 x2 x3 x4

1.

Решение системы: x1 1,

x2

1,

x3 2,

x4 2.

находится по формулам

y

x

x

;

y

;

z

z

,

где

a1

b1

c1

a2

b2

c2

(предполагается, что

≠ 0),

a3

b3

c3

d1 b1 c1

a1 d1 c1

a1 b1 d1

x

d2 b2

c2

, y

a2

d2 c2

, z

a2 b2 d2

.

d3 b3 c3

a3 d3 c3

a3 b3 d3

Для данной системы уравнений имеем

1

4

2

3

1

1

49.

3

5

6

Вспомогательные определители

3

4

2

49,

1 3

2

0,

x

5

1

1

y

3 5

1

9

5

6

3 9

6

1

4

3

z

3

1

5

98.